Welcome! Log In Create A New Profile

Advanced

Liestinė ir graikų matematika

Posted by Edmundas 
Liestinė ir graikų matematika
December 28, 2014 05:54PM
Skaitydamas Rimo tekstą apie liestinę "Mokyklinės matematikos turinys: funkcijos grafiko liestinė", pagalvojau, kad būtų įdomu sužinoti apie liestinės idėją antikinės matematikos kontekste (kai nebuvo diferencialinio skaičiavimo). Juk graikai apie tai jau kalbėjo. Kaip ji buvo traktuojama ir svarbiausia, kokia buvo matematinė idėjos motyvacija?

Tiesa, įdomu, kas vyko su liestine ir vėliau prieš diferencialinio ir integralinio skaičiavimo įsigalėjimą.
Re: Liestinė ir graikų matematika
December 28, 2014 08:30PM
Euklidas nagrinėja atvejus, kai tiesė liečia apskritimą ar apskritimas liečia kitą apskritimą. Bet jo liestinės apibrėžimas niekaip bendros sąvokos neatspindi, yra daugmaž toks: „...sutinka, bet nekerta...“. Archimedas lyg buvo įrodęs teiginių apie spiralės liestinę, bet ar buvo kada išsakęs kokį bendrą liestinės apibrėžimą, nežinau.
Re: Liestinė ir graikų matematika
December 31, 2014 04:06PM
Hmmm, liestinė kaip „sutinka, bet pratęsta nebekerta“ pradžiai gal ir neblogai :) O graikai kalbėjo apie liestinės pagrindinėms kreivėms, kuriomis domėjosi: be apskritimų, kalbama apie liestines kūgio pjūviams (Apolonijus) ir spiralėms (Archimedas). Dė ko aš pradėjau domėtis ir klausinėti, tai kuo jiems liestinė pasirodė svarbi. Negi šiaip pradėjo ieškoti liestinių kreivėms? - žiū kiek dėmesio Archimedas skiria spiralės liestinei veikale "Apie spirales".

Vienas dalykas, kuris kartais gali pagelbėti tokiais atvejais, tai koks apibrėžimas atrodo neaiškus ar nepilnas, pažiūrėti, kaip ta sąvoka konkrečiai naudojama įrodymuose ar samprotavimuose. Bet šiuo atveju nieko labai naujo nesimato, ar ne?

Kas čia vyksta su liestinės idėja Euklido "Pradmenų" III-čioje knygoje (apibrėžimas 2 ir teiginys 16): liestinė liečia apskritimą viename taške, o visi kiti taškai yra už; tarp liestinės ir apskritimo neįmanoma įstatyti kitos tiesės.

Su spirale yra šiokių tokių niuansų. Archimedo "Apie spirales" teiginys 13: "Jei tiesė liečia spiralę, ji liečia ją tik viename taške". Hugh Thurstonas pastebi, kad ką Archimedas įrodo, tai kad liestinė neliečia spiralės to pačio pusiau-pasisukimo du kartus; naujas faktorius čia yra tai, kad į liestinę žiūrima lokaliau: tai, kas svarbu, ta liestinės nedidelė dalis, kurioje yra lietimosi taškas, o likusi liestinės dalis neturi reikšmės (1).

Prikabinu dar Viliaus Stakėno paskaitų 11-tą temą, ten apie šiuos dalykus trumpai užsimenama.
---------------------------------
1. Thurston, Hugh. "Tangents: An Elementary Survey". Mathematics Magazine, Vol. 42, No. 1 (Jan., 1969), 1-11, p. 1-2.
Attachments:
open | download - Vilius Stakėnas. 11 tema. Kreives ir ju liestines.pdf (87.8 KB)
Re: Liestinė ir graikų matematika
December 31, 2014 05:57PM
Pradmenų 3 kn. 16 t. tikrai primena liestinės kaip arčiausiai prigludusios prie kreivės tiesės apibūdinimą. Bet to lokalumo kaip tik ir trūksta. Va jeigu teigtų tatai su atitinkamais pakeitimais apie kiek norint mažą apskritimo lanką, tai būtų lokaliai.
O Archimedo teiginio liestinės savybė („liesti kaži kiek kartų“) tai kaip tik atrodo priklausoma nuo globalių kreivės savybių (beje pusė pasisukimo yra labai globalu). Sinusoidę va gali liesti be galo daug kartų.
Re: Liestinė ir graikų matematika
January 01, 2015 11:08PM
Na, taip, apie lokalumą griežtąja prasme nekalbama. Thurstonas, matyt, turi omenyje, kad Archimedą domina tam tikras segmentas daugiau mažiau apie lietimosi tašką, o kas toliau globaliau vyksta su pratęsta liestine, nesvarbu šio lietimosi taško atžvilgiu. Ir liečiasi būtent viename taške tame segmente.

Pratimas: kaip antikinis graikas žiūrėtų į liestinės klausimą kreivės, kuri turi kampą, kampiniame taške, kur kreivė staigiai keičia kryptį (tokiame kaip y = |x| funkcijos grafiko taške 0), su sąlyga, kad jis iš karto nepasiųstų velniop su tokiomis keistomis kreivėmis?

P.S. Dukra susidomėjo Archimedo spiralės pavidalu ir bandome ją brėžti - tikrai graži kreivė.
Re: Liestinė ir graikų matematika
January 05, 2015 11:19PM
O dėl vėlesnių laikų tai, kai augo mechaninių tyrinėjimų įtaka į kreives pradėta žvelgti kaip į tolydžiai judančio taško kelią (ypač XVII a.). O Roberval ir Torricelli ir liestinę pradėjo traktuoti kinematiškai. Kaip teigia Robervalio tezė, "taško, apibrėžiančio kreivę, judėjimo kryptis yra kreivės liestinė kiekvienoje to taško vietoje". Kaip rašoma, jie sugebėjo nemažai liestinių surasti tuo pasinaudodami.
Sorry, only registered users may post in this forum.

Click here to login