-
Naujausi įrašai
Naujausi komentarai
- Edmundas Adomonis 2012-02-02 14:28 grakštus loginis uždavinys
- Edmundas Adomonis 2012-02-01 12:49 P. M. S. Hacker apie filosofiją
- svetys 2012-02-01 00:47 P. M. S. Hacker apie filosofiją
- Edmundas Adomonis 2012-01-31 19:17 P. M. S. Hacker apie filosofiją
- svetys 2012-01-31 01:06 P. M. S. Hacker apie filosofiją
Kategorijos
- akademija (14)
- filosofija (96)
- fizika (6)
- gamta (29)
- kalba (23)
- kompiuterija (14)
- logika (6)
- matematika (17)
- pasilinksminimui (14)
- pažinimas (11)
- šis-bei-tas (61)
- tinklalapis (10)
- visuomenė (22)
- žmogus (25)
Archyvai
Kategorijos archyvas: matematika
Martin Gardner – žurnalistas
Martin Gardner (1914-2010), kaip žinia, buvo žymus mokslo populiarintojas, ypač pagarsėjęs rekreacinės matematikos skiltimi "Mathematical Games" žurnale "Scientific American" (1956-1981) ir kova su pseudomokslu. Pastebėjau, kad jis save apibūdina griežtai kaip žurnalistą:
"I’m strictly a journalist. I just write about what other people are doing in the field."
(iš interviu su Don Albers)
Tebūnie mokslo žurnalistas, bet KOKS žurnalistas.
knyga apie skaičius
Internete pastebėjau Barry Mazuro knygą "Imagining Numbers (particularly the square root of minus fifteen)". Sprendžiant iš aprašymo, gali būti įdomu: gal paskatintų abstrakčią vaizduotę (pvz., kompleksinių skaičių reikaluose). Jei kas nors ras knygą ir perskaitys, gali pasidalinti įspūdžiais.
Susiję užrašai:
"kompleksiniai skaičiai ir vaikai"
homeomorfizmo apibrėžimas
Aišku, dabar ne laikas tuo užsiimti, bet nieko nebus - reikia užsirašyti formalų homeomorfizmo apibrėžimą iš A. Matuzevičiaus knygos "Topologija".
"Topologinės erdvės X tolydusis atvaizdis f topologinėje erdvėje Y vadinamas homeomorfizmu, arba homeomorfiniu (topologiniu) atvaizdžiu, jei jis yra bijekcija ir jo atvirkštinis atvaizdis f-1 tolydus. Jei egzistuoja bent vienas homeomorfizmas f: X→Y, tai topologinės erdvės X ir Y vadinamos homeomorfiškomis. Homeomorfizmas žymimas f: X ≈ Y, arba X ≈ Y."
O prieš tai toks vaizdingas paaiškinimas:
"Vaizdžiai kalbant, topologinių erdvių pavyzdžiais galime laikyti euklidinės erdvės elastingas figūras, o homeomorfizmais - tų figūrų maigymą ir tampymą, jų neperplėšiant ir neklijuojant. Dvi figūros laikomos topologiškai vienodomis, jei vieną jų maigant ir tampant galima gauti antrąją figūrą. Visos figūros savybės, kurios nesikeičia atliekant tokias transformacijas, yra topologinės. Neveltui topologija dažnai vadinama maigymo ir tampymo geometrija. Vadinasi, rutulys, pilnaviduris elipsoidas, kubas arba bet koks iškilasis daugiasienis yra topologiškai vienodos figūros. Taip pat sfera su rankele, toras ir kavos puoduko paviršius irgi topologiškai vienodos figūros. Tačiau apskritimas, lemniskatė ir tiesė jau yra topologiškai skirtingos figūros."
(iš Matuzevičius Algirdas (1982) Topologija. Vilnius: Mokslas, p. 34)
Dabar reikia pagalvoti, kaip topologinės deformacijos atsispindi abstrakčiame homeomorfizmo apibrėžime, t.y. kodėl apibrėžimas yra toks, o ne kitoks.
Susiję užrašai:
2011 m. Abelio premija
2011 m. Abelio premija
2011 m. Abelio premiją gavo John Milnor (Institute for Mathematical Sciences, Stony Brook University, New York) "už novatoriškus atradimus topologijoje, geometrijoje ir algebroje".
Nieko apie šiuos pasiekimus neišmanau, bet mane sudomino Abelio premijos tinklalapyje pateikti bandymai populiariai paaiškinti Johno Milnoro pagrindinius darbus, pvz., Timothy Gowers "The Work of John Milnor" (pdf). Netgi truputėlį aiškiau pasidarė apie daugdaras (manifolds), homeomorfizmą, difeomorfizmą ir pan. (Nors daug labiau matematiškai išprusęs mano draugas iš karto patarė atsargiai elgtis su "tolydžios deformacijos" sąvoka, nes čia yra esminių niuansų.) Štai taip dar rašoma:
"1956 m. Milnoras rado nepaprastą matematinį objektą: pavidalas, kuris yra homeomorfiškas septynių dimensijų sferai, bet nėra difeomorfiškas septynių dimensijų sferai. Jis pavadino šitą objektą "egzotiška sfera"."
Savo tinklaraštyje Timothy Gowers rašo, kad šitas populiarus Johno Milnoro idėjų išdėstymas buvo vienas iš sunkesnių jo kaip matematiko gyvenimo užduočių.
paprasta nelygybė
Pagalvojau, kad kartais verta išspręsti visai paprastą uždavinį, kad protas neprarastų lankstumo įvairaus tipo uždaviniams. Pradžiai bus gerai ir tokia nelygybė:
Tik keista, kad toks uždavinys buvo 1977 m. stojamuosiose egzaminuose į Maskvos valstybinio universiteto mechanikos-matematikos fakultetą. Tikrai tai turėjo būti pats lengviausias uždavinys iš visų...
Galvoju, kad kartas nuo karto suaugusiam žmogui reikia pakartoti ir aritmetinius veiksmus, t.y. suskaičiuoti ką nors su didesniais skaičiais ne su kalkuliatoriumi, o tiesiog popieriuje.
Kitą kartą reikės susirasti ne grynai matematinį, o visai paprastą uždavinį iš gamtos tyrinėjimo (gamtos mokslų pradmenų).
in memoriam Benoît Mandelbrot (1924-2010)
Benoît Mandelbroto, mirusio spalio 14 d., garbei gražus fraktalas Kocho snaigė (7 pirmos iteracijos), sudaryta iš Kocho kreivių - tolydžių, bet niekur nediferencijuojamų kreivių (paveiksliukas iš Wikipedijos):
Gal kas nors plotą panorės suskaičiuoti, o gal kai kas net perimetrą :)
Tarp kitko, kažkur mačiau paminėta Kocho kreivę esant Césaro kreivės atveju, kai:
Tikiuosi neapgavo - ir galvoju dabar, kaip čia gražioji snaigė gaunasi su kompleksiniais skaičiais?
Vladimir Arnold (1937-2010)
Vakar (birželio 3 d.) mirė rusų matematikas Vladimiras Arnoldas.
Šiame tinklaraštyje esu minėjęs keletą Vladimiro Arnoldo siūlytų uždavinių ir jo knygą "Uždaviniai vaikams nuo 5 iki 15 metų" (2004): "uždavinys", "plyta", "uždavinys apie du indus", "uždavinys apie kirminą".
Vladimiras Arnoldas dažnai pasisakydavo apie bendrą matematikos statusą ir matematinio švietimo problemas (burbakizmui labai kliūdavo): čia daug rusiškų tekstų, čia ir kitomis kalbomis, o čia "On teaching mathematics". Tokie klausimai gali būti įdomūs ir nematematikams, ypač besidomintiems visapusišku išsilavinimu.
Dar viena įdomi ir linksma Vladimiro Arnoldo knyga, kurios dalį skaityti gali ir platesnė publika - tai "Huygens and Barrow, Newton and Hooke"; ši knyga yra ir rusiškai. Tiesa, nemažai ko ten visai neįmanoma suprasti neturint gilių matematikos žinių.
Beje, per žinias minėjo, kad jis buvo labiausiai cituojamas rusų mokslininkas.
pirmas uždavinys
Emilija išsprendė pirmą tikrą matematikos uždavinį: koks skaičius yra mažesnis už 5, bet didesnis už 3? Uždavinys paprastas, bet lavinimosi pradžioje taip jau būna.
kompleksiniai skaičiai ir vaikai
Emilija paklausė, apie ką skaitau, o tuo metu skaičiau apie kompleksinius skaičius. Galvoju, kaip būtų galima mažiems vaikams paaiškinti kompleksinių skaičių idėją. Reiktų kokio elementaresnio taikymo pavyzdžio tokio kaip su kitais skaičiais: neigiamus skaičius galima aiškinti pasitelkus skolos ar nuostolio pavyzdį, racionalius skaičius - torto dalinimo pavyzdį, iracionalius skaičius - galbūt stataus trikampio (su vienetinio ilgio statiniais) įžambinės ilgio pavyzdį ir pan. Kaži ar galima ką nors sugalvoti su kompleksiniais skaičiais?
uždavinys apie proceso greitį
Vanduo teka į kūgišką indą greičiu r. Indas yra stačiojo apskritojo kūgio pavidalo: pagrindas - horizontalus, viršūnė - žemyn; pagrindo spindulys yra a, o kūgio aukštinė b. Rasti vandens lygio kilimo greitį tuo metu, kai vandens aukštis yra y. Rasti nežinomojo skaitinę reikšmę, kai a = 4 pėdos, b = 3 pėdos, r = 2 kubinės pėdos per minutę, y = 1 pėda.
(Iš G. Polya "How To Solve It" (1973))
Šis uždavinys sudomino, nes jame matosi, kaip tokiame nesudėtingame kontekste pasirodo momentinio greičio idėja. Sprendžiant reikia pasinaudoti diferencialinio skaičiavimo pradmenimis.
uždavinys apie kirminą
Ant knygų lentynos šalia stovi du Puškino tomai: pirmas ir antras. Kiekvieno tomo puslapiai kartu yra 2 cm pločio, kiekvienas viršelis - 2 mm pločio. Kirminas pragraužė (statmenai puslapiams) nuo pirmojo puslapio pirmajame tome iki paskutinio puslapio antrajame tome. Kokį kelią kirminas pragraužė?
Tai dar vienas iš Vladimiro Arnoldo uždavinių vaikams ("Uždaviniai vaikams nuo 5 iki 15 metų" (2004)). Arnoldas pasakoja keistoką istoriją, apie tai, kad kažkokie akademikai nesugebėjo uždavinio išspręsti, nors tai lengvai padaro kai kurie ikimokyklinukai.
Be to, Vladimiras Arnoldas mini, kad tai yra topologinis uždavinys. Kaip tai susiję su topologija?
Susiję užrašai:
plyta
grupė
Parašius apie 2008 m. Abelio premiją, reiktų prisiminti gi ir grupės apibrėžimą.
Grupe vadinama netuščia aibė su apibrėžta binarine operacija *, kai tenkinamos tokios sąlygos:
1. Uždarumas: bet kuriems aibės G elementams a ir b binarinės operacijos rezultatas a*b irgi yra G elementas;
2. Asociatyvumas: operacija * yra asociatyvi, t.y. bet kuriems aibės G elementams a, b, c galioja (a*b)*c = a*(b*c);
3. Neutralus elementas: aibei G priklauso neutralus elementas e toks, kad bet kuriam a iš aibės G galioja e*a = a*e = a;
4. Atvirkštinis elementas: kiekvienam G elementui a aibėje G egzistuoja atvirkštinis elementas toks, kad galioja a*a-1 = a-1*a = e.
Abstrakčiąją algebrą studijuoti reikia kantrybės :), bet ji yra plačiai taikoma šiuolaikinėje gamtotyroje, tad norintys ten giliau patekti neturi kur dėtis.
Freeman J. Dyson pasakoja įdomią istoriją, susijusią su grupių teorija (Scientific American, September, 1964). Kai 1910 metais matematikas Oswald Veblen ir fizikas James Jeans aptarinėjo matematikos programos reformą Prinstono universitete, Jeans pasakęs: "Galime atsisakyti grupių teorijos, ši matematikos sritis niekada neduos fizikai jokios naudos." Nežinoma, ką Veblen atsakė, bet grupių teorija ten ir toliau buvo dėstoma. O vėliau grupių teorija išaugo į vieną iš centrinių temų fizikoje. Beje, kaip tik Prinstone vėliau ir dirbo teorinės-grupinės krypties fizikoje pradininkai Hermann Weyl ir Eugene Wigner. Tokios istorijos prisimenamos, kai norima pabrėžti, kad reikia atsargiau elgtis su tolimesnės mokslo raidos vertinimais, ypač "nenaudingumo" paieškomis.
Susiję užrašai:
"2008 m. Abelio premija"
2008 m. Abelio premija
2008 m. Abelio premijos laureatai - John G. Thompson (University of Florida) ir Jacques Tits (Collège de France). Premija suteikta už žymius pasiekimus algebroje ir ypač už šiuolaikinės grupių teorijos kūrimą. Premijos pagrindimas ir kiti paaiškinimai - Abelio premijos tinklalapyje.
Papildymas. Pradžiai labai naudingas ten pateiktas Marcuso du Sautoy tekstas, suprantamas ir nematematikams - paaiškinta, kokia idėja slypi už grupių teorijos: kaip grupių teorijos dėka pavyko "artikuliuoti" fundamentalią pažinimo sąvoką - simetriją. Beje, ir futbolas yra įveltas :) pasirodo futbolo kamuolio 60 posūkio simetrijų yra toliau neskaidomos (net nežinau, kokia tiksli lietuviška terminija). Paveikslėlį pasiskolinau iš du Sautoy teksto.
Įdomu, kaip ten atsiranda ryšys su lygčių išsprendžiamumu radikalais (kuo ir grupių teorijos kūrėjas Evariste Galois užsiėmė)?
uždavinys apie du indus
Turint 5 litrų ir 3 litrų indus, reikia atmatuoti 1 litrą (t.y. gauti 1 litrą viename iš indų).
Tai dar vienas iš Vladimiro Arnoldo uždavinių vaikams ("Uždaviniai vaikams nuo 5 iki 15 metų").
Susiję užrašai:
"plyta"
plyta
Plyta sveria svarą ir dar pusę plytos. Kiek svarų sveria plyta?
Tai vienas iš Vladimiro Arnoldo uždavinių vaikams. Suaugusiems irgi neuždrausta pasipraktikuoti. Beje, Arnoldas savo uždavinyną ("Uždaviniai vaikams nuo 5 iki 15 metų") skiria moksleiviams, studentams, mokytojams, tėvams - visiems, kurie mąstymo kultūrą laiko neatskiriama asmenybės prusinimo dalimi.