Ἔστω ὁποσαοῦν μεγέθη τὰ ΑΒ, ΓΔ ὁποσωνοῦν μεγεθῶν τῶν Ε, Ζ ἴσων τὸ πλῆθος ἕκαστον ἑκάστου ἰσάκις πολλαπλάσιον· λέγω, ὅτι ὁσαπλάσιόν ἐστι τὸ ΑΒ τοῦ Ε, τοσαυταπλάσια ἔσται καὶ τὰ ΑΒ, ΓΔ τῶν Ε, Ζ.

Ἐπεὶ γὰρ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΒ τοῦ Ε, καὶ τὸ ΓΔ τοῦ Ζ, ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΑΒ μεγέθη ἴσα τῷ Ε, τοσαῦτα καὶ ἐν τῷ ΓΔ ἴσα τῷ Ζ. διῃρήσθω τὸ μὲν ΑΒ εἰς τὰ τῷ Ε μεγέθη ἴσα τὰ ΑΗ, ΗΒ, τὸ δὲ ΓΔ εἰς τὰ τῷ Ζ ἴσα τὰ ΓΘ, ΘΔ· ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΑΗ, ΗΒ τῷ πλήθει τῶν ΓΘ, ΘΔ. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ μὲν ΑΗ τῷ Ε, τὸ δὲ ΓΘ τῷ Ζ, ἴσον ἄρα τὸ ΑΗ τῷ Ε, καὶ τὰ ΑΗ, ΓΘ τοῖς Ε, Ζ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἴσον ἐστὶ τὸ ΗΒ τῷ Ε, καὶ τὰ ΗΒ, ΘΔ τοῖς Ε, Ζ· ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΑΒ ἴσα τῷ Ε, τοσαῦτα καὶ ἐν τοῖς ΑΒ, ΓΔ ἴσα τοῖς Ε, Ζ· ὁσαπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒ τοῦ Ε, τοσαυταπλάσια ἔσται καὶ τὰ ΑΒ, ΓΔ τῶν Ε, Ζ.

Ἐὰν ἄρα ᾖ ὁποσαοῦν μεγέθη ὁποσωνοῦν μεγεθῶν ἴσων τὸ πλῆθος ἕκαστον ἑκάστου ἰσάκις πολλαπλάσιον, ὁσαπλάσιόν ἐστιν ἓν τῶν μεγεθῶν ἑνός, τοσαυταπλάσια ἔσται καὶ τὰ πάντα τῶν πάντων· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Tebūnie keli norint dydžiai ΑΒ, ΓΔ kelių norint dydžių Ε, Ζ to pat skaičiaus kiekvienas kiekvieno tieko pat kartų kartotinis; teigiu, kad kelių kartų yra ΑΒ iš Ε, tieko kartų bus ir ΑΒ, ΓΔ iš Ε, Ζ.

Kadangi tieko pat kartų yra kartotinis ΑΒ iš Ε ir ΓΔ iš Ζ, kiek tad įeina į ΑΒ dydžių lygių Ε, tiek ir į ΓΔ – lygių Ζ. Tebūnie padalintas ΑΒ į lygius Ε dydžius ΑΗ, ΗΒ, o ΓΔ – į lygius Ζ – ΓΘ, ΘΔ; tai bus lygus ΑΗ, ΗΒ skaičius ΓΘ, ΘΔ skaičiui. Ir kadangi ΑΗ yra lygus Ε, o ΓΘ – Ζ, ΑΗ tad lygus Ε, ir ΑΗ, ΓΘ – Ε, Ζ. Dėl to pat gi ΗΒ yra lygus Ε, ir ΗΒ, ΘΔ – Ε, Ζ; kiek tad į ΑΒ įeina lygių Ε, tiek ir į ΑΒ, ΓΔ – lygių Ε, Ζ; kelių kartų tad yra ΑΒ iš Ε, tieko kartų bus ir ΑΒ, ΓΔ iš Ε, Ζ.

Jei tad būtų keli norint dydžiai kelių norint dydžių to pat skaičiaus kiekvienas kiekvieno tieko pat kartų kartotinis, kelių kartų yra vienas iš dydžių vieno, tieko kartų bus ir visi visų; kaip tik, ką reikėjo įrodyti.

Πρῶτον γὰρ τὸ ΑΒ δευτέρου τοῦ Γ ἰσάκις ἔστω πολλαπλάσιον καὶ τρίτον τὸ ΔΕ τετάρτου τοῦ Ζ, ἔστω δὲ καὶ πέμπτον τὸ ΒΗ δευτέρου τοῦ Γ ἰσάκις πολλαπλάσιον καὶ ἕκτον τὸ ΕΘ τετάρτου τοῦ Ζ· λέγω, ὅτι καὶ συντεθὲν πρῶτον καὶ πέμπτον τὸ ΑΗ δευτέρου τοῦ Γ ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον καὶ τρίτον καὶ ἕκτον τὸ ΔΘ τετάρτου τοῦ Ζ.

Ἐπεὶ γὰρ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΒ τοῦ Γ καὶ τὸ ΔΕ τοῦ Ζ, ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΑΒ ἴσα τῷ Γ, τοσαῦτα καὶ ἐν τῷ ΔΕ ἴσα τῷ Ζ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὅσα ἐστὶν ἐν τῷ ΒΗ ἴσα τῷ Γ, τοσαῦτα καὶ ἐν τῷ ΕΘ ἴσα τῷ Ζ· ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν ὅλῳ τῷ ΑΗ ἴσα τῷ Γ, τοσαῦτα καὶ ἐν ὅλῳ τῷ ΔΘ ἴσα τῷ Ζ· ὁσαπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΗ τοῦ Γ, τοσαυταπλάσιον ἔσται καὶ τὸ ΔΘ, τοῦ Ζ. καὶ συντεθὲν ἄρα πρῶτον καὶ πέμπτον τὸ ΑΗ δευτέρου τοῦ Γ ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον καὶ τρίτον καὶ ἕκτον τὸ ΔΘ τετάρτου τοῦ Ζ.

Ἑὰν ἄρα πρῶτον δευτέρου ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσιον καὶ τρίτον τετάρτου, ᾖ δὲ καὶ πέμπτον δευτέρου ἰσάκις πολλαπλάσιον καὶ ἕκτον τετάρτου, καὶ συντεθὲν πρῶτον καὶ πέμπτον δευτέρου ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον καὶ τρίτον καὶ ἕκτον τετάρτου· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Pirmasis ΑΒ antrojo Γ tieko pat kartų tebūnie kartotinis, ir trečiasis ΔΕ ketvirtojo Ζ, tebūnie gi ir penktasis ΒΗ antrojo Γ tieko pat kartų kartotinis, bei šeštasis ΕΘ ketvirtojo Ζ; teigiu, kad ir sudėti pirmas ir penktas ΑΗ antrojo Γ tieko pat kartų bus kartotinis, bei trečiasis ir šeštasis ΔΘ ketvirtojo Z.

Kadangi tieko pat kartų yra kartotinis ΑΒ iš Γ ir ΔΕ iš Ζ, kiek tad į ΑΒ įeina lygių Γ, tiek ir į ΔΕ – lygių Ζ. Dėl to pat gi ir kiek į ΒΗ įeina lygių Γ, tiek ir į ΕΘ – lygių Ζ; kiek tad į visą ΑΗ įeina lygių Γ, tiek ir į visą ΔΘ – lygių Ζ; kelių kartų tad yra ΑΗ iš Γ, tieko kartų bus ir ΔΘ iš Ζ. Ir sudėti tad pirmasis ir penktasis ΑΗ bus antrojo Γ tieko pat kartų kartotinis, bei trečiasis ir šeštasis ΔΘ ketvirtojo Ζ.

Jei tad pirmas antro būtų tieko pat kartų kartotinis ir trečias ketvirto, o ir penktas antro būtų tieko pat kartų kartotinis ir šeštas ketvirto, tai ir sudėti pirmas ir penktas bus tieko pat kartų antro kartotinis, bei trečias ir šeštas – ketvirto; kaip tik, ką reikėjo įrodyti.

Πρῶτον γὰρ τὸ Α δευτέρου τοῦ Β ἰσάκις ἔστω πολλαπλάσιον καὶ τρίτον τὸ Γ τετάρτου τοῦ Δ, καὶ εἰλήφθω τῶν Α, Γ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ ΕΖ, ΗΘ· λέγω, ὅτι ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΕΖ τοῦ Β καὶ τὸ ΗΘ τοῦ Δ.

Ἐπεὶ γὰρ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΕΖ τοῦ Α καὶ τὸ ΗΘ τοῦ Γ, ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΕΖ ἴσα τῷ Α, τοσαῦτα καὶ ἐν τῷ ΗΘ ἴσα τῷ Γ. διῃρήσθω τὸ μὲν ΕΖ εἰς τὰ τῷ Α μεγέθη ἴσα τὰ ΕΚ, ΚΖ, τὸ δὲ ΗΘ εἰς τὰ τῷ Γ ἴσα τὰ ΗΛ, ΛΘ· ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΕΚ, ΚΖ τῷ πλήθει τῶν ΗΛ, ΛΘ. καὶ ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ Α τοῦ Β καὶ τὸ Γ τοῦ Δ, ἴσον δὲ τὸ μὲν ΕΚ τῷ Α, τὸ δὲ ΗΛ τῷ Γ, ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΕΚ τοῦ Β καὶ τὸ ΗΛ τοῦ Δ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΚΖ τοῦ Β καὶ τὸ ΛΘ τοῦ Δ.

Ἐπεὶ οὖν πρῶτον τὸ ΕΚ δευτέρου τοῦ Β ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον καὶ τρίτον τὸ ΗΛ τετάρτου τοῦ Δ, ἔστι δὲ καὶ πέμπτον τὸ ΚΖ δευτέρου τοῦ Β ἰσάκις πολλαπλάσιον καὶ ἕκτον τὸ ΛΘ τετάρτου τοῦ Δ, καὶ συντεθὲν ἄρα πρῶτον καὶ πέμπτον τὸ ΕΖ δευτέρου τοῦ Β ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον καὶ τρίτον καὶ ἕκτον τὸ ΗΘ τετάρτου τοῦ Δ.

Ἐὰν ἄρα πρῶτον δευτέρου ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσιον καὶ τρίτον τετάρτου, ληφθῇ δὲ τοῦ πρώτου καὶ τρίτου ἰσάκις πολλαπλάσια, καὶ δι᾽ ἴσου τῶν ληφθέντων ἑκάτερον ἑκατέρου ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον τὸ μὲν τοῦ δευτέρου τὸ δὲ τοῦ τετάρτου· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Pirmasis Α antrojo Β tieko pat kartų tebūnie kartotinis ir trečiasis Γ ketvirtojo Δ, ir tebus paimti tieko pat kartų Α, Γ kartotiniai ΕΖ, ΗΘ; teigiu, kad tieko pat kartų yra kartotinis ΕΖ iš Β ir ΗΘ iš Δ.

Kadangi tieko pat kartų yra kartotinis ΕΖ iš Α ir ΗΘ iš Γ, kiek tad į ΕΖ įeina lygių Α, tiek ir į ΗΘ – lygių Γ. Tebūnie padalintas ΕΖ į lygius Α dydžius ΕΚ, ΚΖ, o ΗΘ į lygius Γ – ΗΛ, ΛΘ; tai bus lygus ΕΚ, ΚΖ skaičius ΗΛ, ΛΘ skaičiui. Ir kadangi tieko pat kartų yra kartotinis Α iš Β ir Γ iš Δ, o ΕΚ lygus Α, bei ΗΛ – Γ, tieko pat tad kartų yra kartotinis ΕΚ iš Β ir ΗΛ iš Δ. Dėl to pat gi tieko pat kartų yra kartotinis ΚΖ iš Β ir ΛΘ iš Δ. Tai kadangi pirmasis ΕΚ antrojo Β tieko pat kartų yra kartotinis ir trečiasis ΗΛ ketvirtojo Δ, o yra ir penktasis ΚΖ antrojo Β tieko pat kartų kartotinis ir šeštasis ΛΘ ketvirtojo Δ, ir sudėti tad pirmasis ir penktasis ΕΖ antrojo Β tieko pat kartų yra kartotinis bei trečiasis ir šeštasis ΗΘ ketvirtojo Δ.

Jei tad pirmas antro tieko pat kartų būtų kartotinis ir trečias ketvirto, bei būtų paimti pirmojo ir trečiojo tieko pat kartų kartotiniai, tai ir lygiuojant abejas paimtųjų tieko pat kartų bus abejo kartotiniai – vienas antrojo, kitas ketvirtojo; kaip tik, ką reikėjo įrodyti.

Πρῶτον γὰρ τὸ Α πρὸς δεύτερον τὸ Β τὸν αὐτὸν ἐχέτω λόγον καὶ τρίτον τὸ Γ πρὸς τέταρτον τὸ Δ, καὶ εἰλήφθω τῶν μὲν Α, Γ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Ε, Ζ, τῶν δὲ Β, Δ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Η, Θ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ Ε πρὸς τὸ Η, οὕτως τὸ Ζ πρὸς τὸ Θ.

Εἰλήφθω γὰρ τῶν μὲν Ε, Ζ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Κ, Λ, τῶν δὲ Η, Θ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Μ, Ν.

[Καὶ] ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ μὲν Ε τοῦ Α, τὸ δὲ Ζ τοῦ Γ, καὶ εἴληπται τῶν Ε, Ζ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Κ, Λ, ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ Κ τοῦ Α καὶ τὸ Λ τοῦ Γ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ Μ τοῦ Β καὶ τὸ Ν τοῦ Λ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, καὶ εἴληπται τῶν μὲν Α, Γ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Κ, Λ, τῶν δὲ Β, Δ ἄλλα ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Μ, Ν, εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Κ τοῦ Μ, ὑπερέχει καὶ τὸ Λ τοῦ Ν, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον. καὶ ἐστι τὰ μὲν Κ, Λ τῶν Ε, Ζ ἰσάκις πολλαπλάσια, τὰ δὲ Μ, Ν τῶν Η, Θ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Ε πρὸς τὸ Η, οὕτως τὸ Ζ πρὸς τὸ Θ.

Ἐὰν ἄρα πρῶτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον καὶ τρίτον πρὸς τέταρτον, καὶ τὰ ἰσάκις πολλαπλάσια τοῦ τε πρώτου καὶ τρίτου πρὸς τὰ ἰσάκις πολλαπλάσια τοῦ δευτέρου καὶ τετάρτου τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον καθ᾽ ὁποιονοῦν πολλαπλασιασμὸν ληφθέντα κατάλληλα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Pirmasis Α su antruoju Β tą patį teturie santykį ir trečiasis Γ su ketvirtuoju Δ, ir tebūnie paimti tieko pat kartų Α, Γ kartotiniai Ε, Ζ ir kiti kurie nors, tieko pat kartų Β, Δ kartotiniai Η, Θ; teigiu, kad yra kaip Ε su Η, taip Ζ su Θ.

Tebūnie paimti tieko pat kartų Ε, Ζ kartotiniai Κ, Λ ir kiti kurie nors, tieko pat kartų Η, Θ kartotiniai Μ, Ν.

Kadangi tieko pat kartų yra kartotinis Ε iš Α, o Ζ iš Γ, ir paimti tieko pat kartų Ε, Ζ kartotiniai Κ, Λ, tieko pat tad kartų yra kartotinis Κ iš Α ir Λ iš Γ. Dėl to pat gi tieko pat kartų yra kartotinis Μ iš Β ir Ν iš Λ. Ir kadangi yra kaip Α su Β, taip Γ su Δ, ir paimti tieko pat kartų Α, Γ kartotiniai Κ, Λ ir kiti kurie nors, tieko pat kartų Β, Δ kartotiniai Μ, Ν, jei tad didesnis Κ už Μ, tai didesnis ir Λ už Ν, ir jei lygus – lygus, ir jei mažesnis – mažesnis. Ir yra Κ, Λ tieko pat kartų Ε, Ζ kartotiniai, o Μ, Ν kiti kurie nors, tieko pat kartų Η, Θ kartotiniai; yra tad kaip Ε su Η, taip Ζ su Θ.

Jei tad pirmas su antru tą patį turėtų santykį ir trečias su ketvirtu, tai ir tieko pat kartų pirmojo ir trečiojo kartotiniai su tieko pat kartų antrojo ir ketvirtojo kartotiniais, kokio norint kartotinumo, tą patį turės santykį, paimti atitinkamai; kaip tik, ką reikėjo įrodyti.

Μέγεθος γὰρ τὸ ΑΒ μεγέθους τοῦ ΓΔ ἰσάκις ἔστω πολλαπλάσιον, ὅπερ ἀφαιρεθὲν τὸ ΑΕ ἀφαιρεθέντος τοῦ ΓΖ· λέγω, ὅτι καὶ λοιπὸν τὸ ΕΒ λοιποῦ τοῦ ΖΔ ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον, ὁσαπλάσιόν ἐστιν ὅλον τὸ ΑΒ ὅλου τοῦ ΓΔ.

Ὁσαπλάσιον γάρ ἐστι τὸ ΑΕ τοῦ ΓΖ, τοσαυταπλάσιον γεγονέτω καὶ τὸ ΕΒ τοῦ ΓΗ.

Καὶ ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΕ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΕΒ τοῦ ΗΓ, ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΕ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΑΒ τοῦ ΗΖ. κεῖται δὲ ἰσάκις πολλαπλάσιον τὸ ΑΕ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΑΒ τοῦ ΓΔ. ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΒ ἑκατέρου τῶν ΗΖ, ΓΔ· ἴσον ἄρα τὸ ΗΖ τῷ ΓΔ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΓΖ· λοιπὸν ἄρα τὸ ΗΓ λοιπῷ τῷ ΖΔ ἴσον ἐστίν. καὶ ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΕ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΕΒ τοῦ ΗΓ, ἴσον δὲ τὸ ΗΓ τῷ ΔΖ, ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΕ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΕΒ τοῦ ΖΔ. ἰσάκις δὲ ὑπόκειται πολλαπλάσιον τὸ ΑΕ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΑΒ τοῦ ΓΔ· ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΕΒ τοῦ ΖΔ καὶ τὸ ΑΒ τοῦ ΓΔ. καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΕΒ λοιποῦ τοῦ ΖΔ ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον, ὁσαπλάσιόν ἐστιν ὅλον τὸ ΑΒ ὅλου τοῦ ΓΔ.

Ἐὰν ἄρα μέγεθος μεγέθους ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσιον, ὅπερ ἀφαιρεθὲν ἀφαιρεθέντος, καὶ τὸ λοιπὸν τοῦ λοιποῦ ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον, ὁσαπλάσιόν ἐστι καὶ τὸ ὅλον τοῦ ὅλου· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Dydis ΑΒ dydžio ΓΔ tieko pat kartų tebūnie kartotinis kaip ir atimtas ΑΕ atimto ΓΖ; teigiu, kad ir liekamas ΕΒ liekamo ΖΔ tieko pat kartų bus kartotinis, kelių kartų yra visas ΑΒ viso ΓΔ.

Kelių kartų yra ΑΕ iš ΓΖ, tieko kartų tesideda ir ΕΒ iš ΓΗ.

Ir kadangi tieko pat kartų yra kartotinis ΑΕ iš ΓΖ ir ΕΒ iš ΗΓ, tieko pat tad kartų yra kartotinis ΑΕ iš ΓΖ ir ΑΒ iš ΗΖ. O tariama gi tieko pat kartų kartotinis ΑΕ iš ΓΖ ir ΑΒ iš ΓΔ. Tieko pat tad kartų ΑΒ yra abejo iš ΗΖ, ΓΔ kartotinis; ΗΖ tad lygus ΓΔ. Bendra tebus atimta ΓΖ; liekamas tad ΗΓ liekamam ΖΔ lygus yra. Ir kadangi tieko pat kartų yra kartotinis ΑΕ iš ΓΖ ir ΕΒ iš ΗΓ, o ΗΓ lygus ΔΖ, tieko pat tad kartų yra kartotinis ΑΕ iš ΓΖ ir ΕΒ iš ΖΔ. O tieko pat gi kartų tariama kartotinis ΑΕ iš ΓΖ ir ΑΒ iš ΓΔ; tieko pat tad kartų yra kartotinis ΕΒ iš ΖΔ ir ΑΒ iš ΓΔ. Ir liekamas tad ΕΒ liekamo ΖΔ tieko pat kartų bus kartotinis, kelių kartų yra visas ΑΒ viso ΓΔ.

Jei tad dydis būtų dydžio tieko pat kartų kartotinis kaip ir atimtas atimto, tai ir liekamas liekamo tieko pat kartų bus kartotinis, kelių kartų yra ir visas viso; kaip tik, ką reikėjo įrodyti.

Δύο γὰρ μεγέθη τὰ ΑΒ, ΓΔ δύο μεγεθῶν τῶν Ε, Ζ ἰσάκις ἔστω πολλαπλάσια, καὶ ἀφαιρεθέντα τὰ ΑΗ, ΓΘ τῶν αὐτῶν τῶν Ε, Ζ ἰσάκις ἔστω πολλαπλάσια· λέγω, ὅτι καὶ λοιπὰ τὰ ΗΒ, ΘΔ τοῖς Ε, Ζ ἤτοι ἴσα ἐστὶν ἢ ἰσάκις αὐτῶν πολλαπλάσια.

Ἔστω γὰρ πρότερον τὸ ΗΒ τῷ Ε ἴσον. λέγω, ὅτι καὶ τὸ ΘΔ τῷ Ζ ἴσον ἐστίν.

Κείσθω γὰρ τῷ Ζ ἴσον τὸ ΓΚ. ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΗ τοῦ Ε καὶ τὸ ΓΘ τοῦ Ζ, ἴσον δὲ τὸ μὲν ΗΒ τῷ Ε, τὸ δὲ ΚΓ τῷ Ζ, ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΒ τοῦ Ε καὶ τὸ ΚΘ τοῦ Ζ. ἰσάκις δὲ ὑπόκειται πολλαπλάσιον τὸ ΑΒ τοῦ Ε καὶ τὸ ΓΔ τοῦ Ζ· ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΚΘ τοῦ Ζ καὶ τὸ ΓΔ τοῦ Ζ. ἐπεὶ οὖν ἑκάτερον τῶν ΚΘ, ΓΔ τοῦ Ζ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον, ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΚΘ τῷ ΓΔ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΓΘ· λοιπὸν ἄρα τὸ ΚΓ λοιπῷ τῷ ΘΔ ἴσον ἐστίν. ἀλλὰ τὸ Ζ τῷ ΚΓ ἐστιν ἴσον· καὶ τὸ ΘΔ ἄρα τῷ Ζ ἴσον ἐστίν. ὥστε εἰ τὸ ΗΒ τῷ Ε ἴσον ἐστίν, καὶ τὸ ΘΔ ἴσον ἔσται τῷ Ζ.

Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι, κἂν πολλαπλάσιον ᾖ τὸ ΗΒ τοῦ Ε, τοσαυταπλάσιον ἔσται καὶ τὸ ΘΔ τοῦ Ζ.

Ἐὰν ἄρα δύο μεγέθη δύο μεγεθῶν ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσια, καὶ ἀφαιρεθέντα τινὰ τῶν αὐτῶν ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσια, καὶ τὰ λοιπὰ τοῖς αὐτοῖς ἤτοι ἴσα ἐστὶν ἢ ἰσάκις αὐτῶν πολλαπλάσια· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Du dydžiu ΑΒ, ΓΔ dviejų dydžių Ε, Ζ tieko pat kartų tebūnie kartotiniai, ir atimti ΑΗ, ΓΘ tų pačių Ε, Ζ tieko pat kartų tebūnie kartotiniai; teigiu, kad ir liekami ΗΒ, ΘΔ arba yra lygūs Ε, Ζ, arba tieko pat kartų jųjų kartotiniai.

Tebūnie pirma ΗΒ lygus Ε. Teigiu, kad ir ΘΔ yra lygus Ζ.

Tarkime ΓΚ lygų Ζ. Kadangi tieko pat kartų yra kartotinis ΑΗ iš Ε ir ΓΘ iš Ζ, o ΗΒ lygus Ε, bei ΚΓ – Ζ, tieko pat tad kartų yra kartotinis ΑΒ iš Ε ir ΚΘ iš Ζ. O tariama gi tieko pat kartų kartotinis ΑΒ iš Ε ir ΓΔ iš Ζ; tieko pat tad kartų yra kartotinis ΚΘ iš Ζ ir ΓΔ iš Ζ. Tai kadangi abejas iš ΚΘ, ΓΔ yra tieko pat kartų Ζ kartotinis, yra tad ΚΘ lygus ΓΔ. Bendra tebus atimta ΓΘ; liekamas tad ΚΓ liekamam ΘΔ lygus yra. Tačiau Ζ yra lygus ΚΓ; ir ΘΔ tad lygus Ζ. Taigi jei ΗΒ yra lygus Ε, tai ir ΘΔ bus lygus Ζ.

Panašiai gi įrodysime, kad ir jei ΗΒ būtų Ε kartotinis, tieko pat kartų ir ΘΔ bus Ζ kartotinis.

Jei tad du dydžiu būtų dviejų dydžių tieko pat kartų kartotiniai, ir atimti kurie nors būtų tieko pat kartų tų pačių kartotiniai, tai ir liekami arba lygūs tiem patiem yra, arba tieko pat kartų jųjų kartotiniai; kaip tik, ką reikėjo įrodyti.

Ἔστω ἴσα μεγέθη τὰ Α, Β, ἄλλο δέ τι, ὃ ἔτυχεν, μέγεθος τὸ Γ· λέγω, ὅτι ἑκάτερον τῶν Α, Β πρὸς τὸ Γ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, καὶ τὸ Γ πρὸς ἑκάτερον τῶν Α, Β.

Εἰλήφθω γὰρ τῶν μὲν Α, Β ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Δ, Ε, τοῦ δὲ Γ ἄλλο, ὃ ἔτυχεν, πολλαπλάσιον τὸ Ζ.

Ἐπεὶ οὖν ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ Δ τοῦ Α καὶ τὸ Ε τοῦ Β, ἴσον δὲ τὸ Α τῷ Β, ἴσον ἄρα καὶ τὸ Δ τῷ Ε. ἄλλο δέ, ὃ ἔτυχεν, τὸ Ζ. Εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Δ τοῦ Ζ, ὑπερέχει καὶ τὸ Ε τοῦ Ζ, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον. καί ἐστι τὰ μὲν Δ, Ε τῶν Α, Β ἰσάκις πολλαπλάσια, τὸ δὲ Ζ τοῦ Γ ἄλλο, ὃ ἔτυχεν, πολλαπλάσιον· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ Β πρὸς τὸ Γ.

Λέγω [δή], ὅτι καὶ τὸ Γ πρὸς ἑκάτερον τῶν Α, Β τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον. Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ὁμοίως δείξομεν, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ Δ τῷ Ε· ἄλλο δέ τι τὸ Ζ· εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Ζ τοῦ Δ, ὑπερέχει καὶ τοῦ Ε, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον. καί ἐστι τὸ μὲν Ζ τοῦ Γ πολλαπλάσιον, τὰ δὲ Δ, Ε τῶν Α, Β ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Α, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Β.

Τὰ ἴσα ἄρα πρὸς τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον καὶ τὸ αὐτὸ πρὸς τὰ ἴσα.

Πόρισμα Ἐκ δὴ τούτου φαρερόν, ὅτι ἐὰν μεγέθη τινὰ ἀνάλογον ᾖ, καὶ ἀνάπαλιν ἀνάλογον ἔσται. ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Tebūnie lygūs dydžiai Α, Β, o kitas kuris nors dydis Γ; teigiu, kad abejas iš Α, Β su Γ tą patį turi santykį, ir Γ su abeju iš Α, Β.

Tebūnie paimti tieko pat kartų Α, Β kartotiniai Δ, Ε ir kitas kuris nors, Γ kartotinis Ζ.

Tai kadangi tieko pat kartų yra kartotinis Δ iš Α ir Ε iš Β, o Α lygus Β, ir Δ tad lygus Ε. Kitas gi kuris nors – Ζ. Jei tad didesnis Δ už Ζ, tai didesnis ir Ε už Ζ, ir jei lygus – lygus, ir jei mažesnis – mažesnis. Ir yra Δ, Ε tieko pat kartų Α, Β kartotiniai, o Ζ kitas kuris nors, Γ kartotinis; yra tad kaip Α su Γ, taip Β su Γ.

Teigiu, kad ir Γ su abeju iš Α, Β tą patį turi santykį.

Po tų pačių parengimų panašiai įrodysime, kad Δ yra lygus Ε; kitas gi kuris nors – Ζ; jei tad didesnis Ζ už Δ, didesnis ir už Ε, ir jei lygus – lygus, ir jei mažesnis – mažesnis. Ir Ζ yra Γ kartotinis, o Δ, Ε kiti kurie nors, tieko pat kartų Α, Β kartotiniai; yra tad kaip Γ su Α, taip Γ su Β.

Lygūs turi tad su tuo pačiu tą patį santykį, ir tas pats – su lygiais.

Iš to jau aišku, kad jei kurie nors dydžiai lygdari būtų, tai ir atvirkščiai lygdari bus. Kaip tik, ką reikėjo įrodyti.

Ἔστω ἄνισα μεγέθη τὰ ΑΒ, Γ, καὶ ἔστω μεῖζον τὸ ΑΒ, ἄλλο δέ, ὃ ἔτυχεν, τὸ Δ· λέγω, ὅτι τὸ ΑΒ πρὸς τὸ Δ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, καὶ τὸ Δ πρὸς τὸ Γ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὸ ΑΒ.

Ἐπεὶ γὰρ μεῖζόν ἐστι τὸ ΑΒ τοῦ Γ, κείσθω τῷ Γ ἴσον τὸ ΒΕ· τὸ δὴ ἔλασσον τῶν ΑΕ, ΕΒ πολλαπλασιαζόμενον ἔσται ποτὲ τοῦ Δ μεῖζον. ἔστω πρότερον τὸ ΑΕ ἔλαττον τοῦ ΕΒ, καὶ πεπολλαπλασιάσθω τὸ ΑΕ, καὶ ἔστω αὐτοῦ πολλαπλάσιον τὸ ΖΗ μεῖζον ὂν τοῦ Δ, καὶ ὁσαπλάσιόν ἐστι τὸ ΖΗ τοῦ ΑΕ, τοσαυταπλάσιον γεγονέτω καὶ τὸ μὲν ΗΘ τοῦ ΕΒ τὸ δὲ Κ τοῦ Γ· καὶ εἰλήφθω τοῦ Δ διπλάσιον μὲν τὸ Λ, τριπλάσιον δὲ τὸ Μ, καὶ ἑξῆς ἑνὶ πλεῖον, ἕως ἂν τὸ λαμβανόμενον πολλαπλάσιον μὲν γένηται τοῦ Δ, πρώτως δὲ μεῖζον τοῦ Κ. εἰλήφθω, καὶ ἔστω τὸ Ν τετραπλάσιον μὲν τοῦ Δ, πρώτως δὲ μεῖζον τοῦ Κ.

Ἐπεὶ οὖν τὸ Κ τοῦ Ν πρώτως ἐστὶν ἔλαττον, τὸ Κ ἄρα τοῦ Μ οὔκ ἐστιν ἔλαττον. καὶ ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΖΗ τοῦ ΑΕ καὶ τὸ ΗΘ τοῦ ΕΒ, ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΖΗ τοῦ ΑΕ καὶ τὸ ΖΘ τοῦ ΑΒ. ἰσάκις δέ ἐστι πολλαπλάσιον τὸ ΖΗ τοῦ ΑΕ καὶ τὸ Κ τοῦ Γ· ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΖΘ τοῦ ΑΒ καὶ τὸ Κ τοῦ Γ. τὰ ΖΘ, Κ ἄρα τῶν ΑΒ, Γ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσια. πάλιν, ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΗΘ τοῦ ΕΒ καὶ τὸ Κ τοῦ Γ, ἴσον δὲ τὸ ΕΒ τῷ Γ, ἴσον ἄρα καὶ τὸ ΗΘ τῷ Κ· τὸ δὲ Κ τοῦ Μ οὔκ ἐστιν ἔλαττον· οὐδ᾽ ἄρα τὸ ΗΘ τοῦ Μ ἔλαττόν ἐστιν. μεῖζον δὲ τὸ ΖΗ τοῦ Δ· ὅλον ἄρα τὸ ΖΘ συναμφοτέρων τῶν Δ, Μ μεῖζόν ἐστιν. ἀλλὰ συναμφότερα τὰ Δ, Μ τῷ Ν ἐστιν ἴσα, ἐπειδήπερ τὸ Μ τοῦ Δ τριπλάσιόν ἐστιν, συναμφότερα δὲ τὰ Μ, Δ τοῦ Δ ἐστι τετραπλάσια, ἔστι δὲ καὶ τὸ Ν τοῦ Δ τετραπλάσιον· συναμφότερα ἄρα τὰ Μ, Δ τῷ Ν ἴσα ἐστίν. ἀλλὰ τὸ ΖΘ τῶν Μ, Δ μεῖζόν ἐστιν· τὸ ΖΘ ἄρα τοῦ Ν ὑπερέχει· τὸ δὲ Κ τοῦ Ν οὐχ ὑπερέχει. καί ἐστι τὰ μὲν ΖΘ, Κ τῶν ΑΒ, Γ ἰσάκις πολλαπλάσια, τὸ δὲ Ν τοῦ Δ ἄλλο, ὃ ἔτυχεν, πολλαπλάσιον· τὸ ΑΒ ἄρα πρὸς τὸ Δ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Γ πρὸς τὸ Δ.

Λέγω δή, ὅτι καὶ τὸ Δ πρὸς τὸ Γ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Δ πρὸς τὸ ΑΒ.

Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ὁμοίως δείξομεν, ὅτι τὸ μὲν Ν τοῦ Κ ὑπερέχει, τὸ δὲ Ν τοῦ ΖΘ οὐχ ὑπερέχει. καί ἐστι τὸ μὲν Ν τοῦ Δ πολλαπλάσιον, τὰ δὲ ΖΘ, Κ τῶν ΑΒ, Γ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια· τὸ Δ ἄρα πρὸς τὸ Γ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Δ πρὸς τὸ ΑΒ.

Ἀλλὰ δὴ τὸ ΑΕ τοῦ ΕΒ μεῖζον ἔστω. τὸ δὴ ἔλαττον τὸ ΕΒ πολλαπλασιαζόμενον ἔσται ποτὲ τοῦ Δ μεῖζον. πεπολλαπλασιάσθω, καὶ ἔστω τὸ ΗΘ πολλαπλάσιον μὲν τοῦ ΕΒ, μεῖζον δὲ τοῦ Δ· καὶ ὁσαπλάσιόν ἐστι τὸ ΗΘ τοῦ ΕΒ, τοσαυταπλάσιον γεγονέτω καὶ τὸ μὲν ΖΗ τοῦ ΑΕ, τὸ δὲ Κ τοῦ Γ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι τὰ ΖΘ, Κ τῶν ΑΒ, Γ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσια· καὶ εἰλήφθω ὁμοίως τὸ Ν πολλαπλάσιον μὲν τοῦ Δ, πρώτως δὲ μεῖζον τοῦ ΖΗ· ὥστε πάλιν τὸ ΖΗ τοῦ Μ οὔκ ἐστιν ἔλασσον. μεῖζον δὲ τὸ ΗΘ τοῦ Δ· ὅλον ἄρα τὸ ΖΘ τῶν Δ, Μ, τουτέστι τοῦ Ν, ὑπερέχει. τὸ δὲ Κ τοῦ Ν οὐχ ὑπερέχει, ἐπειδήπερ καὶ τὸ ΖΗ μεῖζον ὂν τοῦ ΗΘ, τουτέστι τοῦ Κ, τοῦ Ν οὐχ ὑπερέχει. καὶ ὡσαύτως κατακολουθοῦντες τοῖς ἐπάνω περαίνομεν τὴν ἀπόδειξιν.

Τῶν ἄρα ἀνίσων μεγεθῶν τὸ μεῖζον πρὸς τὸ αὐτὸ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἔλαττον· καὶ τὸ αὐτὸ πρὸς τὸ ἔλαττον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὸ μεῖζον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Tebūnie nelygūs dydžiai ΑΒ, Γ, ir tebus didesnis ΑΒ, o kitas kuris nors – Δ; teigiu, kad ΑΒ su Δ didesnį santykį turi negu Γ su Δ, ir Δ su Γ didesnį santykį turi negu su ΑΒ.

Kadangi ΑΒ yra didesnis už Γ, tarkime ΒΕ lygų Γ; mažesnysis iš ΑΕ, ΕΒ kartojamas taps kada nors už Δ didesnis. Tebūnie pirma ΑΕ mažesnis už ΕΒ, ir tebūnie pakartotas ΑΕ, ir tebus jo kartotinis ΖΗ didesnis esąs už Δ, ir kelių kartų yra ΖΗ iš ΑΕ, tieko kartų tesideda ir ΗΘ iš ΕΒ, bei Κ iš Γ; ir tebūnie iš Δ paimtas dvikartis Λ, trikartis Μ, ir vis vienu daugiau, iki imamas Δ kartotinis taptų pirmas didesnis už Κ. Tebus paimtas, ir Ν tebus Δ keturkartis, pirmasis didesnis už Κ.

Tai kadangi Κ už Ν pirmąkart yra mažesnis, Κ tad už Μ nėra mažesnis. Ir kadangi tieko pat kartų yra kartotinis ΖΗ iš ΑΕ ir ΗΘ iš ΕΒ, tieko pat tad kartų yra kartotinis ΖΗ iš ΑΕ ir ΖΘ iš ΑΒ. Ir tieko pat kartų yra kartotinis ΖΗ iš ΑΕ ir Κ iš Γ; tieko pat tad kartų yra kartotinis ΖΘ iš ΑΒ ir Κ iš Γ. ΖΘ, Κ tad yra tieko pat kartų ΑΒ, Γ kartotiniai. Ir vėl, kadangi tieko pat kartų yra kartotinis ΗΘ iš ΕΒ ir Κ iš Γ, o ΕΒ lygus Γ, ir ΗΘ tad lygus Κ; o Κ už Μ nėra mažesnis; nėra tad nei ΗΘ už Μ mažesnis. O ΖΗ didesnis už Δ; visas tad ΖΘ už abejetą Δ, Μ didesnis yra. Tačiau abejetas Δ, Μ yra lygus Ν, kadangi Μ yra Δ trikartis, o abejetas Μ, Δ yra Δ keturkartis, betgi ir Ν yra Δ keturkartis; abejetas tad Μ, Δ yra lygus Ν. Tačiau ΖΘ už Μ, Δ didesnis yra; ΖΘ tad už Ν didesnis; o Κ už Ν nedidesnis. Ir yra ΖΘ, Κ tieko pat kartų ΑΒ, Γ kartotiniai, o Ν kitas kuris nors, Δ kartotinis; ΑΒ tad su Δ didesnį santykį turi negu Γ su Δ.

Teigiu, kad ir Δ su Γ didesnį santykį turi negu Δ su ΑΒ.

Po tų pačių parengimų panašiai įrodysime, kad Ν už Κ didesnis, o Ν už ΖΘ nedidesnis. Ir Ν yra Δ kartotinis, o ΖΘ, Κ kiti kurie nors, tieko pat kartų ΑΒ, Γ kartotiniai; Δ tad su Γ didesnį santykį turi negu Δ su ΑΒ.

Tačiau dabar ΑΕ už ΕΒ didesnis tebūnie. Mažesnysis ΕΒ kartojamas taps kada nors už Δ didesnis. Tebūnie pakartotas, ir ΗΘ tebus ΕΒ kartotinis didesnis už Δ; ir kelių kartų yra ΗΘ iš ΕΒ, tieko kartų tesideda ir ΖΗ iš ΑΕ, o Κ iš Γ. Panašiai gi įrodysime, kad ΖΘ, Κ yra tieko pat kartų ΑΒ, Γ kartotiniai; ir tebus panašiai paimtas Δ kartotinis Ν, pirmasis didesnis už ΖΗ; taigi ir vėl ΖΗ už Μ nėra mažesnis. O ΗΘ didesnis už Δ; visas tad ΖΘ didesnis už Δ, Μ, o tai yra Ν. O Κ nedidesnis už Ν, kadangi ir ΖΗ didesnis būdamas už ΗΘ, o tai yra Κ, neviršija Ν. Ir šitaip, kaip pirma panašiai, užbaigsime įrodymą. Nelygių tad dydžių didesnis su tuo pačiu didesnį santykį turi negu mažesnis, ir tas pats su mažesniu didesnį santykį turi negu su didesniu; kaip tik, ką reikėjo įrodyti.

Ἐχέτω γὰρ ἑκάτερον τῶν Α, Β πρὸς τὸ Γ τὸν αὐτὸν λόγον· λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ Α τῷ Β.

Εἰ γὰρ μή, οὐκ ἂν ἑκάτερον τῶν Α, Β πρὸς τὸ Γ τὸν αὐτὸν εἶχε λόγον· ἔχει δέ· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ Α τῷ Β.

Ἐχέτω δὴ πάλιν τὸ Γ πρὸς ἑκάτερον τῶν Α, Β τὸν αὐτὸν λόγον· λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ Α τῷ Β.

Εἰ γὰρ μή, οὐκ ἂν τὸ Γ πρὸς ἑκάτερον τῶν Α, Β τὸν αὐτὸν εἶχε λόγον· ἔχει δέ· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ Α τῷ Β.

Τὰ ἄρα πρὸς τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχοντα λόγον ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν· καὶ πρὸς ἃ τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ἐκεῖνα ἴσα ἐστίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Teturie abejas iš Α, Β su Γ tą patį santykį; teigiu, kad Α yra lygus Β.

Nes jei ne, neturėtų abejas iš Α, Β su Γ to paties santykio; o turi gi; yra tad Α lygus Β.

Ir vėl, teturi Γ su abeju iš Α, Β tą patį santykį; teigiu, kad Α yra lygus Β.

Nes jei ne, neturėtų Γ su abeju iš Α, Β to paties santykio; o turi gi; yra tad Α lygus Β.

Su tuo pačiu tad tą patį turį santykį lygūs vienas kitam yra; ir su kuriais tas pats tą patį turi santykį, tie lygūs yra; kaip tik, ką reikėjo įrodyti.

Ἐχέτω γὰρ τὸ Α πρὸς τὸ Γ μείζονα λόγον ἤπερ τὸ Β πρὸς τὸ Γ· λέγω, ὅτι μεῖζόν ἐστι τὸ Α τοῦ Β.

Εἰ γὰρ μή, ἤτοι ἴσον ἐστὶ τὸ Α τῷ Β ἢ ἔλασσον. ἴσον μὲν οὖν οὔκ ἐστι τὸ Α τῷ Β· ἑκάτερον γὰρ ἂν τῶν Α, Β πρὸς τὸ Γ τὸν αὐτὸν εἶχε λόγον. οὐκ ἔχει δέ· οὐκ ἄρα ἴσον ἐστὶ τὸ Α τῷ Β. οὐδὲ μὴν ἔλασσόν ἐστι τὸ Α τοῦ Β· τὸ Α γὰρ ἂν πρὸς Γ ἐλάσσονα λόγον εἶχεν ἤπερ τὸ Β πρὸς τὸ Γ. οὐκ ἔχει δέ· οὐκ ἄρα ἔλασσόν ἐστι τὸ Α τοῦ Β. ἐδείχθη δὲ οὐδὲ ἴσον· μεῖζον ἄρα ἐστὶ τὸ Α τοῦ Β.

Ἐχέτω δὴ πάλιν τὸ Γ πρὸς τὸ Β μείζονα λόγον ἤπερ τὸ Γ πρὸς τὸ Α· λέγω, ὅτι ἔλασσόν ἐστι τὸ Β τοῦ Α.

Εἰ γὰρ μή, ἤτοι ἴσον ἐστὶν ἢ μεῖζον. ἴσον μὲν οὖν οὔκ ἐστι τὸ Β τῷ Α· τὸ Γ γὰρ ἂν πρὸς ἑκάτερον τῶν Α, Β τὸν αὐτὸν εἶχε λόγον. οὐκ ἔχει δέ· οὐκ ἄρα ἴσον ἐστὶ τὸ Α τῷ Β. οὐδὲ μὴν μεῖζόν ἐστι τὸ Β τοῦ Α· τὸ Γ γὰρ ἂν πρὸς τὸ Β ἐλάσσονα λόγον εἶχεν ἤπερ πρὸς τὸ Α. οὐκ ἔχει δέ· οὐκ ἄρα μεῖζόν ἐστι τὸ Β τοῦ Α. ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ ἴσον· ἔλαττον ἄρα ἐστὶ τὸ Β τοῦ Α.

Τῶν ἄρα πρὸς τὸ αὐτὸ λόγον ἐχόντων τὸ μείζονα λόγον ἔχον μεῖζόν ἐστιν· καὶ πρὸς ὃ τὸ αὐτὸ μείζονα λόγον ἔχει, ἐκεῖνο ἔλαττόν ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Teturie Α su Γ didesnį santykį negu Β su Γ; teigiu, kad didesnis yra Α už Β.

Nes jei ne, arba Α yra lygus Β, arba mažesnis. Α lygus Β tai jau nėra; abejas mat iš Α, Β su Γ tą patį turėtų santykį. O neturi gi; nėra tad Α lygus Β. Nėra nei mažesnis Α už Β; nes Α su Γ mažesnį santykį turėtų negu Β su Γ. O neturi gi; nėra tad mažesnis Α už Β. Bet įrodyta ir nelygus; didesnis tad yra Α už Β.

Ir vėl, teturie dabar Γ su Β didesnį santykį negu Γ su Α; teigiu, kad mažesnis yra Β už Α.

Nes jei ne, arba lygus yra, arba didesnis. Β lygus Α tai jau nėra; Γ mat su abeju iš Α, Β tą patį turėtų santykį. O neturi gi; nėra tad Α lygus Β. Nėra nei didesnis Β už Α; nes Γ su Β mažesnį santykį turėtų negu su Α. O neturi gi; nėra tad didesnis Β už Α. Bet įrodyta, kad ir nelygus; mažesnis tad yra Β už Α.

Iš su tuo pačiu tad turinčių santykį didesnį santykį turįs didesnis yra; ir su kuriuo tas pats didesnį santykį turi, tas mažesnis yra; kaip tik, ką reikėjo įrodyti.

Ἔστωσαν γὰρ ὡς μὲν τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, ὡς δὲ τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ.

Εἰλήφθω γὰρ τῶν Α, Γ, Ε ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Η, Θ, Κ, τῶν δὲ Β, Δ, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Λ, Μ, Ν.

Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, καὶ εἴληπται τῶν μὲν Α, Γ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Η, Θ, τῶν δὲ Β, Δ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Λ, Μ, εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Η τοῦ Λ, ὑπερέχει καὶ τὸ Θ τοῦ Μ, καὶ εἰ ἴσον ἐστίν, ἴσον, καὶ εἰ ἐλλείπει, ἐλλείπει. πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ, καὶ εἴληπται τῶν Γ, Ε ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Θ, Κ, τῶν δὲ Δ, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Μ, Ν, εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Θ τοῦ Μ, ὑπερέχει καὶ τὸ Κ τοῦ Ν, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον. ἀλλὰ εἰ ὑπερεῖχε τὸ Θ τοῦ Μ, ὑπερεῖχε καὶ τὸ Η τοῦ Λ, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον· ὥστε καὶ εἰ ὑπερέχει τὸ Η τοῦ Λ, ὑπερέχει καὶ τὸ Κ τοῦ Ν, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον. καί ἐστι τὰ μὲν Η, Κ τῶν Α, Ε ἰσάκις πολλαπλάσια, τὰ δὲ Λ, Ν τῶν Β, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ.

Οἱ ἄρα τῷ αὐτῷ λόγῳ οἱ αὐτοὶ καὶ ἀλλήλοις εἰσὶν οἱ αὐτοί· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Tebūnie kaip Α su Β, taip Γ su Δ, o kaip Γ su Δ, taip Ε su Ζ; teigiu, kad yra kaip Α su Β, taip Ε su Ζ.

Tebus paimti tieko pat kartų Α, Γ, Ε kartotiniai Η, Θ, Κ ir kiti kurie nors, tieko pat kartų Β, Δ, Ζ kartotiniai Λ, Μ, Ν.

Ir kadangi yra kaip Α su Β, taip Γ su Δ, bei paimti tieko pat kartų Α, Γ kartotiniai Η, Θ ir kiti kurie nors, tieko pat kartų Β, Δ kartotiniai Λ, Μ, jei tad didesnis Η už Λ, tai didesnis ir Θ už Μ, ir jei lygus – lygus, ir jei mažesnis – mažesnis. Kita vertus, kadangi yra kaip Γ su Δ, taip Ε su Ζ, ir paimti tieko pat kartų Γ, Ε kartotiniai Θ, Κ, bei kiti kurie nors, tieko pat kartų Δ, Ζ kartotiniai Μ, Ν, jei tad Θ didesnis už Μ, tai ir Κ didesnis už Ν, ir jei lygus – lygus, ir jei mažesnis – mažesnis. Tačiau jei Θ didesnis būtų už Μ, tai ir Η didesnis būtų už Λ, ir jei lygus – lygus, ir jei mažesnis – mažesnis; taigi ir jei Η didesnis už Λ, tai ir Κ didesnis už Ν, ir jei lygus – lygus, ir jei mažesnis – mažesnis. Ir yra Η, Κ tieko pat kartų Α, Ε kartotiniai, o Λ, Ν kiti kurie nors, tieko pat kartų Β, Ζ kartotiniai; yra tad kaip Α su Β, taip Ε su Ζ.

Tam pačiam tad santykiui tapatūs ir vienas kitam yra tapatūs; kaip tik, ką reikėjo įrodyti.

ιβʹ. Ἐὰν ᾖ ὁποσαοῦν μεγέθη ἀνάλογον, ἔσται ὡς ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα.

Ἔστωσαν ὁποσαοῦν μεγέθη ἀνάλογον τὰ Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, καὶ τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὰ Α, Γ, Ε, πρὸς τὰ Β, Δ, Ζ.

Εἰλήφθω γὰρ τῶν μὲν Α, Γ, Ε ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Η, Θ, Κ, τῶν δὲ Β, Δ, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Λ, Μ, Ν.

Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, καὶ τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ, καὶ εἴληπται τῶν μὲν Α, Γ, Ε ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Η, Θ, Κ τῶν δὲ Β, Δ, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Λ, Μ, Ν, εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Η τοῦ Λ, ὑπερέχει καὶ τὸ Θ τοῦ Μ, καὶ τὸ Κ τοῦ Ν, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον. ὥστε καὶ εἰ ὑπερέχει τὸ Η τοῦ Λ, ὑπερέχει καὶ τὰ Η, Θ, Κ τῶν Λ, Μ, Ν, καὶ εἰ ἴσον, ἴσα, καὶ εἰ ἔλαττον, ἐλάττονα. καί ἐστι τὸ μὲν Η καὶ τὰ Η, Θ, Κ τοῦ Α καὶ τῶν Α, Γ, Ε ἰσάκις πολλαπλάσια, ἐπειδήπερ ἐὰν ᾖ ὁποσαοῦν μεγέθη ὁποσωνοῦν μεγεθῶν ἴσων τὸ πλῆθος ἕκαστον ἑκάστου ἰσάκις πολλαπλάσιον, ὁσαπλάσιόν ἐστιν ἓν τῶν μεγεθῶν ἑνός, τοσαυταπλάσια ἔσται καὶ τὰ πάντα τῶν πάντων. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ Λ καὶ τὰ Λ, Μ, Ν τοῦ Β καὶ τῶν Β, Δ, Ζ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσια· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὰ Α, Γ, Ε πρὸς τὰ Β, Δ, Ζ.

Ἐὰν ἄρα ᾖ ὁποσαοῦν μεγέθη ἀνάλογον, ἔσται ὡς ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Tebūnie keli norint lygdari dydžiai Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ: kaip Α su Β, taip Γ su Δ ir Ε su Ζ; teigiu, kad yra kaip Α su Β, taip Α, Γ, Ε su Β, Δ, Ζ.

Tebus paimti tieko pat kartų Α, Γ, Ε kartotiniai Η, Θ, Κ ir kiti kurie nors, tieko pat kartų Β, Δ, Ζ kartotiniai Λ, Μ, Ν.

Ir kadangi yra kaip Α su Β, taip Γ su Δ ir Ε su Ζ, bei paimti tieko pat kartų Α, Γ, Ε kartotiniai Η, Θ, Κ ir kiti kurie nors, tieko pat kartų Β, Δ, Ζ kartotiniai Λ, Μ, Ν, jei tad Η didesnis už Λ, tai ir Θ didesnis už Μ ir Κ už Ν, ir jei lygus – lygus, ir jei mažesnis – mažesnis. Taigi ir jei Η didesnis už Λ, tai ir Η, Θ, Κ daugiau už Λ, Μ, Ν, ir jei lygus – lygu, ir jei mažesnis – mažiau. Ir yra Η ir Η, Θ, Κ tieko pat kartų Α ir Α, Γ, Ε kartotiniai, kadangi jei būtų keli norint dydžiai kelių norint dydžių to pat skaičiaus kiekvienas kiekvieno tieko pat kartų kartotinis, kelių kartų yra vienas iš dydžių vieno, tieko kartų bus ir visi visų. Dėl to pat gi ir Λ bei Λ, Μ, Ν yra tieko pat kartų Β ir Β, Δ, Ζ kartotiniai; yra tad kaip Α su Β, taip Α, Γ, Ε su Β, Δ, Ζ.

Jei tad būtų keli norint dydžiai lygdari, tai bus kaip vienas priekinių su vienu paskesniųjų, taip visi priekiniai su visais paskesniaisiais; kaip tik, ką reikėjo įrodyti.

Πρῶτον γὰρ τὸ Α πρὸς δεύτερον τὸ Β τὸν αὐτὸν ἐχέτω λόγον καὶ τρίτον τὸ Γ πρὸς τέταρτον τὸ Δ, τρίτον δὲ τὸ Γ πρὸς τέταρτον τὸ Δ μείζονα λόγον ἐχέτω ἢ πέμπτον τὸ Ε πρὸς ἕκτον τὸ Ζ. λέγω, ὅτι καὶ πρῶτον τὸ Α πρὸς δεύτερον τὸ Β μείζονα λόγον ἕξει ἤπερ πέμπτον τὸ Ε πρὸς ἕκτον τὸ Ζ.

Ἐπεὶ γὰρ ἔστι τινὰ τῶν μὲν Γ, Ε ἰσάκις πολλαπλάσια, τῶν δὲ Δ, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια, καὶ τὸ μὲν τοῦ Γ πολλαπλάσιον τοῦ τοῦ Δ πολλαπλασίου ὑπερέχει, τὸ δὲ τοῦ Ε πολλαπλάσιον τοῦ τοῦ Ζ πολλαπλασίου οὐχ ὑπερέχει, εἰλήφθω, καὶ ἔστω τῶν μὲν Γ, Ε ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Η, Θ, τῶν δὲ Δ, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Κ, Λ, ὥστε τὸ μὲν Η τοῦ Κ ὑπερέχειν, τὸ δὲ Θ τοῦ Λ μὴ ὑπερέχειν· καὶ ὁσαπλάσιον μέν ἐστι τὸ Η τοῦ Γ, τοσαυταπλάσιον ἔστω καὶ τὸ Μ τοῦ Α, ὁσαπλάσιον δὲ τὸ Κ τοῦ Δ, τοσαυταπλάσιον ἔστω καὶ τὸ Ν τοῦ Β.

Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, καὶ εἴληπται τῶν μὲν Α, Γ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Μ, Η, τῶν δὲ Β, Δ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Ν, Κ, εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Μ τοῦ Ν, ὑπερέχει καὶ τὸ Η τοῦ Κ, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον. ὑπερέχει δὲ τὸ Η τοῦ Κ· ὑπερέχει ἄρα καὶ τὸ Μ τοῦ Ν. τὸ δὲ Θ τοῦ Λ οὐχ ὑπερέχει· καί ἐστι τὰ μὲν Μ, Θ τῶν Α, Ε ἰσάκις πολλαπλάσια, τὰ δὲ Ν, Λ τῶν Β, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια· τὸ ἄρα Α πρὸς τὸ Β μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ.

Ἐὰν ἄρα πρῶτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον καὶ τρίτον πρὸς τέταρτον, τρίτον δὲ πρὸς τέταρτον μείζονα λόγον ἔχῃ ἢ πέμπτον πρὸς ἕκτον, καὶ πρῶτον πρὸς δεύτερον μείζονα λόγον ἕξει ἢ πέμπτον πρὸς ἕκτον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Pirmasis Α su antruoju Β tą patį teturie santykį ir trečiasis Γ su ketvirtuoju Δ, o trečiasis Γ su ketvirtuoju Δ didesnį teturi santykį nei penktasis Ε su šeštuoju Ζ. Teigiu, kad ir pirmasis Α su antruoju Β didesnį santykį turės negu penktasis Ε su šeštuoju Ζ.

Kadangi esti kokie nors tieko pat kartų Γ, Ε kartotiniai ir kiti kurie nors, tieko pat kartų Δ, Ζ kartotiniai, ir Γ kartotinis viršija Δ kartotinį, o Ε kartotinis Ζ kartotinio neviršija, tebus paimti, ir tebūnie tieko pat kartų Γ, Ε kartotiniai Η, Θ, o kiti kurie nors, tieko pat kartų Δ, Ζ kartotiniai Κ, Λ, kad Η didesnis už Κ, o Θ nedidesnis už Λ; ir kelių kartų yra Η iš Γ, tieko kartų tegu bus ir Μ iš Α, o kelių kartų Κ iš Δ, tieko kartų tebus ir Ν iš Β.

Ir kadangi yra kaip Α su Β, taip Γ su Δ, ir paimti tieko pat kartų Α, Γ kartotiniai Μ, Η, bei kiti kurie nors, tieko pat kartų Β, Δ kartotiniai Ν, Κ, jei tad Μ didesnis už Ν, tai ir Η didesnis už Κ, ir jei lygus – lygus, ir jei mažesnis – mažesnis. Bet Η didesnis už Κ; ir Μ tad didesnis už Ν. O Θ nedidesnis už Λ; ir yra Μ, Θ tieko pat kartų Α, Ε kartotiniai, o Ν, Λ kiti kurie nors, tieko pat kartų Β, Ζ kartotiniai; Α tad su Β didesnį santykį turi negu Ε su Ζ.

Jei tad pirmas su antru tą patį turėtų santykį ir trečias su ketvirtu, o trečias su ketvirtu didesnį turėtų santykį nei penktas su šeštu, tai ir pirmas su antru didesnį santykį turės nei penktas su šeštu; kaip tik, ką reikėjo įrodyti.

Πρῶτον γὰρ τὸ Α πρὸς δεύτερον τὸ Β τὸν αὐτὸν ἐχέτω λόγον καὶ τρίτον τὸ Γ πρὸς τέταρτον τὸ Δ, μεῖζον δὲ ἔστω τὸ Α τοῦ Γ· λέγω, ὅτι καὶ τὸ Β τοῦ Δ μεῖζόν ἐστιν.

Ἐπεὶ γὰρ τὸ Α τοῦ Γ μεῖζόν ἐστιν, ἄλλο δέ, ὃ ἔτυχεν, [μέγεθος] τὸ Β, τὸ Α ἄρα πρὸς τὸ Β μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Γ πρὸς τὸ Β. ὡς δὲ τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ· καὶ τὸ Γ ἄρα πρὸς τὸ Δ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Γ πρὸς τὸ Β. πρὸς ὃ δὲ τὸ αὐτὸ μείζονα λόγον ἔχει, ἐκεῖνο ἔλασσόν ἐστιν· ἔλασσον ἄρα τὸ Δ τοῦ Β· ὥστε μεῖζόν ἐστι τὸ Β τοῦ Δ.

Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι κἂν ἴσον ᾖ τὸ Α τῷ Γ, ἴσον ἔσται καὶ τὸ Β τῷ Δ, κἂν ἔλασσον ᾖ τὸ Α τοῦ Γ, ἔλασσον ἔσται καὶ τὸ Β τοῦ Δ.

Ἐὰν ἄρα πρῶτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον καὶ τρίτον πρὸς τέταρτον, τὸ δὲ πρῶτον τοῦ τρίτου μεῖζον ᾖ, καὶ τὸ δεύτερον τοῦ τετάρτου μεῖζον ἔσται, κἂν ἴσον, ἴσον, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Pirmasis Α su antruoju Β tą patį teturie santykį ir trečiasis Γ su ketvirtuoju Δ, o Α didesnis tebūnie už Γ; teigiu, kad ir Β už Δ didesnis yra.

Kadangi Α už Γ didesnis yra, o kitas kuris nors – Β, tai Α su Β didesnį santykį turi negu Γ su Β. Ir kaip Α su Β, taip Γ su Δ; ir Γ tad su Δ didesnį santykį turi negu Γ su Β. O su kuriuo tas pats didesnį santykį turi, tas mažesnis yra; mažesnis tad Δ už Β; taigi didesnis yra Β už Δ.

Panašiai gi įrodysime, kad ir jei Α lygus būtų Γ, bus ir Β lygus Δ, ir jei mažesnis būtų Α už Γ, mažesnis bus ir Β už Δ.

Jei tad pirmas su antru tą patį turėtų santykį ir trečias su ketvirtu, o pirmasis už trečiąjį didesnis būtų, tai ir antrasis už ketvirtąjį didesnis bus, ir jei lygus – lygus, ir jei mažesnis – mažesnis; kaip tik, ką reikėjo įrodyti.

Ἔστω γὰρ ἰσάκις πολλαπλάσιον τὸ ΑΒ τοῦ Γ καὶ τὸ ΔΕ τοῦ Ζ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Ζ, οὕτως τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΔΕ.

Ἐπεὶ γὰρ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΒ τοῦ Γ καὶ τὸ ΔΕ τοῦ Ζ, ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΑΒ μεγέθη ἴσα τῷ Γ, τοσαῦτα καὶ ἐν τῷ ΔΕ ἴσα τῷ Ζ. διῃρήσθω τὸ μὲν ΑΒ εἰς τὰ τῷ Γ ἴσα τὰ ΑΗ, ΗΘ, ΘΒ, τὸ δὲ ΔΕ εἰς τὰ τῷ Ζ ἴσα τὰ ΔΚ, ΚΛ, ΛΕ· ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΑΗ, ΗΘ, ΘΒ τῷ πλήθει τῶν ΔΚ, ΚΛ, ΛΕ, καὶ ἐπεὶ ἴσα ἐστὶ τὰ ΑΗ, ΗΘ, ΘΒ ἀλλήλοις, ἔστι δὲ καὶ τὰ ΔΚ, ΚΛ, ΛΕ ἴσα ἀλλήλοις, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΗ πρὸς τὸ ΔΚ, οὕτως τὸ ΗΘ πρὸς τὸ ΚΛ, καὶ τὸ ΘΒ πρὸς τὸ ΛΕ. ἔσται ἄρα καὶ ὡς ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΗ πρὸς τὸ ΔΚ, οὕτως τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΔΕ. ἴσον δὲ τὸ μὲν ΑΗ τῷ Γ, τὸ δὲ ΔΚ τῷ Ζ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Ζ, οὕτως τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΔΕ.

Τὰ ἄρα μέρη τοῖς ὡσαύτως πολλαπλασίοις τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον ληφθέντα κατάλληλα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Tebūnie tieko pat kartų kartotinis ΑΒ iš Γ ir ΔΕ iš Ζ; teigiu, kad yra kaip Γ su Ζ, taip ΑΒ su ΔΕ.

Kadangi tieko pat kartų yra kartotinis ΑΒ iš Γ ir ΔΕ iš Ζ, kiek tad į ΑΒ įeina dydžių lygių Γ, tiek ir į ΔΕ – lygių Ζ. Tebūnie padalintas ΑΒ į ΑΗ, ΗΘ, ΘΒ, lygius Γ, o ΔΕ į ΔΚ, ΚΛ, ΛΕ, lygius Ζ; tai bus lygus ΑΗ, ΗΘ, ΘΒ skaičius ΔΚ, ΚΛ, ΛΕ skaičiui. Ir kadangi lygūs yra ΑΗ, ΗΘ, ΘΒ vienas kitam, o yra ir ΔΚ, ΚΛ, ΛΕ lygūs vienas kitam, yra tad kaip ΑΗ su ΔΚ, taip ΗΘ su ΚΛ, ir taip ΘΒ su ΛΕ. Bus tad kaip vienas iš priekinių su vienu iš paskesniųjų, taip visi priekiniai su visais paskesniaisiais; yra tad kaip ΑΗ su ΔΚ taip ΑΒ su ΔΕ. Betgi ΑΗ lygus Γ, o ΔΚ – Ζ; yra tad kaip Γ su Ζ, taip ΑΒ su ΔΕ.

Dalmens tad tieko pat kartų kartotiniams tą patį turi santykį, paimti atitinkamai.

Ἔστω τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον τὰ Α, Β, Γ, Δ, ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ· λέγω, ὅτι καὶ ἐναλλὰξ [ἀνάλογον] ἔσται, ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ Β πρὸς τὸ Δ.

Εἰλήφθω γὰρ τῶν μὲν Α, Β ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Ε, Ζ, τῶν δὲ Γ, Δ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Η, Θ.

Καὶ ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ Ε τοῦ Α, καὶ τὸ Ζ τοῦ Β, τὰ δὲ μέρη τοῖς ὡσαύτως πολλαπλασίοις τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ. ὡς δὲ τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ· καὶ ὡς ἄρα τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ. πάλιν, ἐπεὶ τὰ Η, Θ τῶν Γ, Δ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσια, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, οὕτως τὸ Η πρὸς τὸ Θ. ὡς δὲ τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, [οὕτως] τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ· καὶ ὡς ἄρα τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ, οὕτως τὸ Η πρὸς τὸ Θ. ἐὰν δὲ τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, τὸ δὲ πρῶτον τοῦ τρίτου μεῖζον ᾖ, καὶ τὸ δεύτερον τοῦ τετάρτου μεῖζον ἔσται, κἂν ἴσον, ἴσον, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον. εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Ε τοῦ Η, ὑπερέχει καὶ τὸ Ζ τοῦ Θ, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον. καί ἐστι τὰ μὲν Ε, Ζ τῶν Α, Β ἰσάκις πολλαπλάσια, τὰ δὲ Η, Θ τῶν Γ, Δ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ Β πρὸς τὸ Δ.

Ἐὰν ἄρα τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, καὶ ἐναλλὰξ ἀνάλογον ἔσται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Tebūnie keturi lygdari dydžiai Α, Β, Γ, Δ: kaip Α su Β, taip Γ su Δ; teigiu, kad ir pakaitomis bus: kaip Α su Γ, taip Β su Δ;

Tebūnie paimti tieko pat kartų Α, Β kartotiniai Ε, Ζ ir kiti kurie nors, tieko pat kartų Γ, Δ kartotiniai Η, Θ.

Ir kadangi tieko kartų yra kartotinis Ε iš Α ir Ζ iš Β, o dalmens tieko pat kartų kartotiniams tą patį turi santykį, yra tad kaip Α su Β, taip Ε su Ζ. Betgi kaip Α su Β, taip Γ su Δ; tad ir kaip Γ su Δ, taip Ε su Ζ. Ir vėl, kadangi Η, Θ yra tieko pat kartų Γ, Δ kartotiniai, yra tad kaip Γ su Δ, taip Η su Θ. Betgi kaip Γ su Δ, taip Ε su Ζ; tad ir kaip Ε su Ζ, taip Η su Θ. Tačiau jei keturi dydžiai lygdari būtų, o pirmasis už trečiąjį didesnis būtų, tai ir antrasis už ketvirtąjį didesnis bus, ir jei lygus – lygus, ir mažesnis – mažesnis. Jei tad didesnis Ε už Η, tai didesnis ir Ζ už Θ, ir jei lygus – lygus, ir jei mažesnis – mažesnis. Ir yra Ε, Ζ tieko pat kartų Α, Β kartotiniai, o Η, Θ kiti kurie nors, tieko pat kartų Γ, Δ kartotiniai; yra tad kaip Α su Γ, taip Β su Δ.

Jei tad keturi dydžiai lygdari būtų, tai ir pakaitomis lygdari bus; kaip tik, ką reikėjo įrodyti.

Ἔστω συγκείμενα μεγέθη ἀνάλογον τὰ ΑΒ, ΒΕ, ΓΔ, ΔΖ, ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΕ, οὕτως τὸ ΓΔ πρὸς τὸ ΔΖ· λέγω, ὅτι καὶ διαιρεθέντα ἀνάλογον ἔσται, ὡς τὸ ΑΕ πρὸς τὸ ΕΒ, οὕτως τὸ ΓΖ πρὸς τὸ ΔΖ.

Εἰλήφθω γὰρ τῶν μὲν ΑΕ, ΕΒ, ΓΖ, ΖΔ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ ΗΘ, ΘΚ, ΛΜ, ΜΝ, τῶν δὲ ΕΒ, ΖΔ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ ΚΞ, ΝΠ.

Καὶ ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΗΘ τοῦ ΑΕ καὶ τὸ ΘΚ τοῦ ΕΒ, ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΗΘ τοῦ ΑΕ καὶ τὸ ΗΚ τοῦ ΑΒ. ἰσάκις δέ ἐστι πολλαπλάσιον τὸ ΗΘ τοῦ ΑΕ καὶ τὸ ΛΜ τοῦ ΓΖ· ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΗΚ τοῦ ΑΒ καὶ τὸ ΛΜ τοῦ ΓΖ· πάλιν, ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΛΜ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΜΝ τοῦ ΖΔ, ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΛΜ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΛΝ τοῦ ΓΔ. ἰσάκις δὲ ἦν πολλαπλάσιον τὸ ΛΜ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΗΚ τοῦ ΑΒ· ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΗΚ τοῦ ΑΒ καὶ τὸ ΛΝ τοῦ ΓΔ. τὰ ΗΚ, ΛΝ ἄρα τῶν ΑΒ, ΓΔ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσια. πάλιν, ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΘΚ τοῦ ΕΒ καὶ τὸ ΜΝ τοῦ ΖΔ, ἔστι δὲ καὶ τὸ ΚΞ τοῦ ΕΒ ἰσάκις πολλαπλάσιον καὶ τὸ ΝΠ τοῦ ΖΔ, καὶ συντεθὲν τὸ ΘΞ τοῦ ΕΒ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον καὶ τὸ ΜΠ τοῦ ΖΔ.

Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΕ, οὕτως τὸ ΓΔ πρὸς τὸ ΔΖ, καὶ εἴληπται τῶν μὲν ΑΒ, ΓΔ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ ΗΚ, ΛΝ, τῶν δὲ ΕΒ, ΖΔ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ ΘΞ, ΜΠ, εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ ΗΚ τοῦ ΘΞ, ὑπερέχει καὶ τὸ ΛΝ τοῦ ΜΠ, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον. ὑπερεχέτω δὴ τὸ ΗΚ τοῦ ΘΞ, καὶ κοινοῦ ἀφαιρεθέντος τοῦ ΘΚ ὑπερέχει ἄρα καὶ τὸ ΗΘ τοῦ ΚΞ. ἀλλὰ εἰ ὑπερεῖχε τὸ ΗΚ τοῦ ΘΞ, ὑπερεῖχε καὶ τὸ ΛΝ τοῦ ΜΠ· ὑπερέχει ἄρα καὶ τὸ ΛΝ τοῦ ΜΠ, καὶ κοινοῦ ἀφαιρεθέντος τοῦ ΜΝ ὑπερέχει καὶ τὸ ΛΜ τοῦ ΝΠ· ὥστε εἰ ὑπερέχει τὸ ΗΘ τοῦ ΚΞ, ὑπερέχει καὶ τὸ ΛΜ τοῦ ΝΠ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι κἂν ἴσον ᾖ τὸ ΗΘ τῷ ΚΞ, ἴσον ἔσται καὶ τὸ ΛΜ τῷ ΝΠ, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον. καί ἐστι τὰ μὲν ΗΘ, ΛΜ τῶν ΑΕ, ΚΓ ἰσάκις πολλαπλάσια, τὰ δὲ ΚΞ, ΝΠ τῶν ΕΒ, ΖΔ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΕ πρὸς τὸ ΕΒ, οὕτως τὸ ΓΖ πρὸς τὸ ΖΔ.

Ἐὰν ἄρα συγκείμενα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, καὶ διαιρεθέντα ἀνάλογον ἔσται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Tebūnie sujungti lygdari dydžiai ΑΒ, ΒΕ, ΓΔ, ΔΖ: kaip ΑΒ su ΒΕ, taip ΓΔ su ΔΖ; teigiu, kad ir atskirti lygdari bus: kaip ΑΕ su ΕΒ, taip ΓΖ su ΔΖ.

Tebūnie paimti tieko pat kartų ΑΕ, ΕΒ, ΓΖ, ΖΔ kartotiniai ΗΘ, ΘΚ, ΛΜ, ΜΝ ir kiti kurie nors, tieko pat kartų ΕΒ, ΖΔ kartotiniai ΚΞ, ΝΠ.

Ir kadangi tieko pat kartų yra kartotinis ΗΘ iš ΑΕ ir ΘΚ iš ΕΒ, tieko pat tad kartų yra kartotinis ΗΘ iš ΑΕ ir ΗΚ iš ΑΒ. Betgi tieko pat kartų yra kartotinis ΗΘ iš ΑΕ ir ΛΜ iš ΓΖ; tieko pat tad kartų yra kartotinis ΗΚ iš ΑΒ ir ΛΜ iš ΓΖ. Ir vėl, kadangi tieko pat kartų yra kartotinis ΛΜ iš ΓΖ ir ΜΝ iš ΖΔ, tieko pat tad kartų yra kartotinis ΛΜ iš ΓΖ ir ΛΝ iš ΓΔ. Bet tieko pat gi kartų buvo kartotinis ΛΜ iš ΓΖ ir ΗΚ iš ΑΒ; tieko pat tad kartų yra kartotinis ΗΚ iš ΑΒ ir ΛΝ iš ΓΔ. Yra tad ΗΚ, ΛΝ tieko pat kartų ΑΒ, ΓΔ kartotiniai. Ir vėl, kadangi tieko pat kartų yra kartotinis ΘΚ iš ΕΒ ir ΜΝ iš ΖΔ, o yra ir ΚΞ iš ΕΒ tieko pat kartų kartotinis ir ΝΠ iš ΖΔ, tai ir sudėta ΘΞ yra tieko pat kartų ΕΒ kartotinis bei ΜΠ iš ΖΔ.

Ir kadangi yra kaip ΑΒ su ΒΕ, taip ΓΔ su ΔΖ, bei paimti tieko pat kartų ΑΒ, ΓΔ kartotiniai ΗΚ, ΛΝ ir tieko pat kartų ΕΒ, ΖΔ kartotiniai ΘΞ, ΜΠ, jei tad didesnis ΗΚ už ΘΞ, tai didesnis ir ΛΝ už ΜΠ, ir jei lygus – lygus, ir jei mažesnis – mažesnis. Tai tegu ΗΚ didesnis už ΘΞ, ir bendra tad ΘΚ atėmus, ΗΘ didesnis už ΚΞ. Tačiau jei ΗΚ didesnis būtų už ΘΞ, tai ir ΛΝ didesnis būtų už ΜΠ; didesnis tad ΛΝ už ΜΠ, ir bendra ΜΝ atėmus, ΛΜ didesnis už ΝΠ; taigi jei ΗΘ didesnis už ΚΞ, tai ir ΛΜ didesnis už ΝΠ. Panašiai gi įrodysime, kad ir jei ΗΘ lygus ΚΞ, tai ir ΛΜ bus lygus ΝΠ, ir jei mažesnis – mažesnis. Ir yra ΗΘ, ΛΜ tieko pat kartų ΑΕ, ΓΖ kartotiniai, o ΚΞ, ΝΠ kiti kurie nors, tieko pat kartų ΕΒ, ΖΔ kartotiniai; yra tad kaip ΑΕ su ΕΒ, taip ΓΖ su ΖΔ.

Jei tad sujungti dydžiai lygdari būtų, tai ir atskirti lygdari bus; kaip tik, ką reikėjo įrodyti.

Ἔστω διῃρημένα μεγέθη ἀνάλογον τὰ ΑΕ, ΕΒ, ΓΖ, ΖΔ, ὡς τὸ ΑΕ πρὸς τὸ ΕΒ, οὕτως τὸ ΓΖ πρὸς τὸ ΖΔ· λέγω, ὅτι καὶ συντεθέντα ἀνάλογον ἔσται, ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΕ, οὕτως τὸ ΓΔ πρὸς τὸ ΖΔ.

Εἰ γὰρ μή ἐστιν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΕ, οὕτως τὸ ΓΔ πρὸς τὸ ΔΖ, ἔσται ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΕ, οὕτως τὸ ΓΔ ἤτοι πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΔΖ ἢ πρὸς μεῖζον.

Ἔστω πρότερον πρὸς ἔλασσον τὸ ΔΗ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΕ, οὕτως τὸ ΓΔ πρὸς τὸ ΔΗ, συγκείμενα μεγέθη ἀνάλογόν ἐστιν· ὥστε καὶ διαιρεθέντα ἀνάλογον ἔσται. ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΕ πρὸς τὸ ΕΒ, οὕτως τὸ ΓΗ πρὸς τὸ ΗΔ. ὑπόκειται δὲ καὶ ὡς τὸ ΑΕ πρὸς τὸ ΕΒ, οὕτως τὸ ΓΖ πρὸς τὸ ΖΔ. καὶ ὡς ἄρα τὸ ΓΗ πρὸς τὸ ΗΔ, οὕτως τὸ ΓΖ πρὸς τὸ ΖΔ. μεῖζον δὲ τὸ πρῶτον τὸ ΓΗ τοῦ τρίτου τοῦ ΓΖ· μεῖζον ἄρα καὶ τὸ δεύτερον τὸ ΗΔ τοῦ τετάρτου τοῦ ΖΔ. ἀλλὰ καὶ ἔλαττον· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΕ, οὕτως τὸ ΓΔ πρὸς ἔλασσον τοῦ ΖΔ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ πρὸς μεῖζον· πρὸς αὐτὸ ἄρα.

Ἐὰν ἄρα διῃρημένα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, καὶ συντεθέντα ἀνάλογον ἔσται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Tebūnie atskiri lygdari dydžiai ΑΕ, ΕΒ, ΓΖ, ΖΔ: kaip ΑΕ su ΕΒ, taip ΓΖ su ΖΔ; teigiu, kad ir sujungti lygdari bus: kaip ΑΒ su ΒΕ, taip ΓΔ su ΖΔ.

Nes jei nėra kaip ΑΒ su ΒΕ, taip ΓΔ su ΔΖ, bus kaip ΑΒ su ΒΕ, taip ΓΔ arba su mažesniu kuriuo nors už ΔΖ, arba su didesniu.

Tebūnie pirma su mažesniu ΔΗ. Ir kadangi yra kaip ΑΒ su ΒΕ, taip ΓΔ su ΔΗ, tai sujungti dydžiai lygdari yra; taigi ir atskirti lygdari bus. Yra tad kaip ΑΕ su ΕΒ, taip ΓΗ su ΗΔ. O tariama gi kaip ΑΕ su ΕΒ, taip ΓΖ su ΖΔ. Tad ir kaip ΓΗ su ΗΔ, taip ΓΖ su ΖΔ. Didesnis gi pirmasis ΓΗ už trečiąjį ΓΖ; didesnis tad ir antrasis ΗΔ už ketvirtąjį ΖΔ. Tačiau ir mažesnis; kas yra neįmanoma; nėra tad kaip ΑΒ su ΒΕ, taip ΓΔ su mažesniu už ΖΔ. Panašiai gi įrodysime, kad ir nei su didesniu; su pačiu tad.

Jei tad atskiri dydžiai lygdari būtų, tai ir sujungti lygdari bus; kaip tik, ką reikėjo įrodyti.

Ἔστω γὰρ ὡς ὅλον τὸ ΑΒ πρὸς ὅλον τὸ ΓΔ, οὕτως ἀφαιρεθὲν τὸ ΑΕ πρὸς ἀφαιρεθὲν τὸ ΓΖ· λέγω, ὅτι καὶ λοιπὸν τὸ ΕΒ πρὸς λοιπὸν τὸ ΖΔ ἔσται ὡς ὅλον τὸ ΑΒ πρὸς ὅλον τὸ ΓΔ.

Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΓΔ, οὕτως τὸ ΑΕ πρὸς τὸ ΓΖ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς τὸ ΒΑ πρὸς τὸ ΑΕ, οὕτως τὸ ΔΓ πρὸς τὸ ΓΖ. καὶ ἐπεὶ συγκείμενα μεγέθη ἀνάλογόν ἐστιν, καὶ διαιρεθέντα ἀνάλογον ἔσται, ὡς τὸ ΒΕ πρὸς τὸ ΕΑ, οὕτως τὸ ΔΖ πρὸς τὸ ΓΖ· καὶ ἐναλλὰξ, ὡς τὸ ΒΕ πρὸς τὸ ΔΖ, οὕτως τὸ ΕΑ πρὸς τὸ ΖΓ. ὡς δὲ τὸ ΑΕ πρὸς τὸ ΓΖ, οὕτως ὑπόκειται ὅλον τὸ ΑΒ πρὸς ὅλον τὸ ΓΔ. καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΕΒ πρὸς λοιπὸν τὸ ΖΔ ἔσται ὡς ὅλον τὸ ΑΒ πρὸς ὅλον τὸ ΓΔ.

Ἐὰν ἄρα ᾖ ὡς ὅλον πρὸς ὅλον, οὕτως ἀφαιρεθὲν πρὸς ἀφαιρεθέν, καὶ τὸ λοιπὸν πρὸς τὸ λοιπὸν ἔσται ὡς ὅλον πρὸς ὅλον [ὅπερ ἔδει δεῖξαι].

[Καὶ ἐπεὶ ἐδείχθη ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΓΔ, οὕτως τὸ ΕΒ πρὸς τὸ ΖΔ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΕ οὕτως τὸ ΓΔ πρὸς τὸ ΖΔ, συγκείμενα ἄρα μεγέθη ἀνάλογόν ἐστιν· ἐδείχθη δὲ ὡς τὸ ΒΑ πρὸς τὸ ΑΕ, οὕτως τὸ ΔΓ πρὸς τὸ ΓΖ· καί ἐστιν ἀναστρέψαντι].

Πόρισμα Ἐκ δὴ τούτου φαρερόν, ὅτι ἐὰν συγκείμενα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, καὶ ἀναστρέψαντι ἀνάλογον ἔσται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Tebūnie kaip visas ΑΒ su visu ΓΔ, taip atimtas ΑΕ su atimtu ΓΖ; teigiu, kad ir liekamas ΕΒ su liekamu ΖΔ bus kaip visas ΑΒ su visu ΓΔ.

Kadangi yra kaip ΑΒ su ΓΔ, taip ΑΕ su ΓΖ, tai ir pakaitomis – kaip ΒΑ su ΑΕ, taip ΔΓ su ΓΖ. Ir kadangi sujungti dydžiai lygdari yra, tai ir atskirti lygdari bus: kaip ΒΕ su ΕΑ, taip ΔΖ su ΓΖ; ir pakaitomis, kaip ΒΕ su ΔΖ, taip ΕΑ su ΖΓ. O kaip ΑΕ su ΓΖ, taip tariama visas ΑΒ su visu ΓΔ. Ir liekamas tad ΕΒ su liekamu ΖΔ bus kaip visas ΑΒ su visu ΓΔ.

Jei tad būtų kaip visas su visu, taip atimtas su atimtu, tai ir liekamas su liekamu bus kaip visas su visu [kaip tik, ką reikėjo įrodyti].

[Ir kadangi įrodyta: kaip ΑΒ su ΓΔ, taip ΕΒ su ΖΔ, tai ir pakaitomis, kaip ΑΒ su ΒΕ, taip ΓΔ su ΖΔ, sujungti tad dydžiai lygdari yra; taigi įrodyta: kaip ΒΑ su ΑΕ, taip ΔΓ su ΓΖ; ir yra apgręžta].

Iš to jau aišku, kad jei sujungti dydžiai lygdari būtų, tai ir apgręžus lygdari bus; kaip tik, ką reikėjo įrodyti.

Ἔστω τρία μεγέθη τὰ Α, Β, Γ, καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος τὰ Δ, Ε, Ζ, σύνδυο λαμβανόμενα ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ὡς μὲν τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ Ε, ὡς δὲ τὸ Β πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ, δι᾽ ἴσου δὲ μεῖζον ἔστω τὸ Α τοῦ Γ· λέγω, ὅτι καὶ τὸ Δ τοῦ Ζ μεῖζον ἔσται, κἂν ἴσον, ἴσον, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον.

Ἐπεὶ γὰρ μεῖζόν ἐστι τὸ Α τοῦ Γ, ἄλλο δέ τι τὸ Β, τὸ δὲ μεῖζον πρὸς τὸ αὐτὸ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἔλαττον, τὸ Α ἄρα πρὸς τὸ Β μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Γ πρὸς τὸ Β. ἀλλ᾽ ὡς μὲν τὸ Α πρὸς τὸ Β, [οὕτως] τὸ Δ πρὸς τὸ Ε, ὡς δὲ τὸ Γ πρὸς τὸ Β, ἀνάπαλιν οὕτως τὸ Ζ πρὸς τὸ Ε· καὶ τὸ Δ ἄρα πρὸς τὸ Ε μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Ζ πρὸς τὸ Ε. τῶν δὲ πρὸς τὸ αὐτὸ λόγον ἐχόντων τὸ μείζονα λόγον ἔχον μεῖζόν ἐστιν. μεῖζον ἄρα τὸ Δ τοῦ Ζ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι κἂν ἴσον ᾖ τὸ Α τῷ Γ, ἴσον ἔσται καὶ τὸ Δ τῷ Ζ, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον.

Ἐὰν ἄρα ᾖ τρία μεγέθη καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος, σύνδυο λαμβανόμενα καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, δι᾽ ἴσου δὲ τὸ πρῶτον τοῦ τρίτου μεῖζον ᾖ, καὶ τὸ τέταρτον τοῦ ἕκτου μεῖζον ἔσται, κἂν ἴσον, ἴσον, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Tebūnie trys dydžiai Α, Β, Γ ir kitų tiek pat – Δ, Ε, Ζ, po du imami to paties santykio: kaip Α su Β, taip Δ su Ε, o kaip Β su Γ, taip Ε su Ζ, bei lygiuojant tebūnie didesnis Α už Γ; teigiu, kad ir Δ už Ζ didesnis bus, ir jei lygus – lygus, ir jei mažesnis – mažesnis.

Kadangi didesnis yra Α už Γ, kitas gi kuris nors – Β, o didesnis su tuo pačiu didesnį santykį turi negu mažesnis, Α tad su Β didesnį santykį turi negu Γ su Β. Tačiau kaip Α su Β, taip Δ su Ε, o kaip Γ su Β, atvirkščiai, taip Ζ su Ε; ir Δ tad su Ε didesnį santykį turi negu Ζ su Ε. O iš su tuo pačiu santykį turinčių didesnį santykį turįs didesnis yra. Didesnis tad Δ už Ζ. Panašiai gi įrodysime, kad ir jei Α lygus būtų Γ, tai ir Δ lygus bus Ζ, ir jei mažesnis – mažesnis.

Jei tad būtų trys dydžiai ir kitų tiek pat, po du imami ir to paties santykio, o lygiuojant pirmasis už trečiąjį didesnis būtų, tai ir ketvirtasis už šeštąjį didesnis bus, ir jei lygus – lygus, ir jei mažesnis – mažesnis; kaip tik, ką reikėjo įrodyti.

Ἔστω τρία μεγέθη τὰ Α, Β, Γ καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος τὰ Δ, Ε, Ζ, σύνδυο λαμβανόμενα καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ἔστω δὲ τεταραγμένη αὐτῶν ἡ ἀναλογία, ὡς μὲν τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ, ὡς δὲ τὸ Β πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ Ε, δι᾽ ἴσου δὲ τὸ Α τοῦ Γ μεῖζον ἔστω· λέγω, ὅτι καὶ τὸ Δ τοῦ Ζ μεῖζον ἔσται, κἂν ἴσον, ἴσον, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον.

Ἐπεὶ γὰρ μεῖζόν ἐστι τὸ Α τοῦ Γ, ἄλλο δέ τι τὸ Β, τὸ Α ἄρα πρὸς τὸ Β μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Γ πρὸς τὸ Β. ἀλλ᾽ ὡς μὲν τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ, ὡς δὲ τὸ Γ πρὸς τὸ Β, ἀνάπαλιν οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Δ. καὶ τὸ Ε ἄρα πρὸς τὸ Ζ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Ε πρὸς τὸ Δ. πρὸς ὃ δὲ τὸ αὐτὸ μείζονα λόγον ἔχει, ἐκεῖνο ἔλασσόν ἐστιν· ἔλασσον ἄρα ἐστὶ τὸ Ζ τοῦ Δ· μεῖζον ἄρα ἐστὶ τὸ Δ τοῦ Ζ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι κἂν ἴσον ᾖ τὸ Α τῷ Γ, ἴσον ἔσται καὶ τὸ Δ τῷ Ζ, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον.

Ἐὰν ἄρα ᾖ τρία μεγέθη καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος, σύνδυο λαμβανόμενα καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ᾖ δὲ τεταραγμένη αὐτῶν ἡ ἀναλογία, δι᾽ ἴσου δὲ τὸ πρῶτον τοῦ τρίτου μεῖζον ᾖ, καὶ τὸ τέταρτον τοῦ ἕκτου μεῖζον ἔσται, κἂν ἴσον, ἴσον, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Tebūnie trys dydžiai Α, Β, Γ ir kitų tiek pat – Δ, Ε, Ζ, po du imami ir to paties santykio, bei tebūnie mišri jųjų lygdara: kaip Α su Β, taip Ε su Ζ, o kaip Β su Γ, taip Δ su Ε, ir lygiuojant tebus Α už Γ didesnis; teigiu, kad ir Δ už Ζ didesnis bus, ir jei lygus – lygus, ir jei mažesnis – mažesnis.

Kadangi didesnis yra Α už Γ, o kitas kuris nors – Β, tai Α su Β didesnį santykį turi negu Γ su Β. Tačiau kaip Α su Β, taip Ε su Ζ, o kaip Γ su Β, atvirkščiai, taip Ε su Δ. Ir Ε tad su Ζ didesnį santykį turį negu Ε su Δ. Bet su kuriuo tas pats didesnį santykį turi, tas mažesnis yra; mažesnis tad yra Ζ už Δ; didesnis tad yra Δ už Ζ. Panašiai gi įrodysime, kad ir jei Α lygus būtų Γ, tai ir Δ lygus bus Ζ, ir jei mažesnis – mažesnis.

Jei tad būtų trys dydžiai ir kitų tiek pat, po du imami ir to paties santykio, ir būtų mišri jųjų lygdara, o lygiuojant pirmasis už trečiąjį didesnis būtų, tai ir ketvirtasis už šeštąjį didesnis bus, ir jei lygus – lygus, ir jei mažesnis – mažesnis; kaip tik, ką reikėjo įrodyti.

Ἔστω ὁποσαοῦν μεγέθη τὰ Α, Β, Γ καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος τὰ Δ, Ε, Ζ, σύνδυο λαμβανόμενα ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ὡς μὲν τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ Ε, ὡς δὲ τὸ Β πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ· λέγω, ὅτι καὶ δι᾽ ἴσου ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ἔσται.

Εἰλήφθω γὰρ τῶν μὲν Α, Δ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Η, Θ, τῶν δὲ Β, Ε ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Κ, Λ, καὶ ἔτι τῶν Γ, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Μ, Ν.

Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ Ε, καὶ εἴληπται τῶν μὲν Α, Δ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Η, Θ, τῶν δὲ Β, Ε ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Κ, Λ, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Η πρὸς τὸ Κ, οὕτως τὸ Θ πρὸς τὸ Λ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς τὸ Κ πρὸς τὸ Μ, οὕτως τὸ Λ πρὸς τὸ Ν. ἐπεὶ οὖν τρία μεγέθη ἐστὶ τὰ Η, Κ, Μ, καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος τὰ Θ, Λ, Ν, σύνδυο λαμβανόμενα καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, δι᾽ ἴσου ἄρα, εἰ ὑπερέχει τὸ Η τοῦ Μ, ὑπερέχει καὶ τὸ Θ τοῦ Ν, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον. καί ἐστι τὰ μὲν Η, Θ τῶν Α, Δ ἰσάκις πολλαπλάσια, τὰ δὲ Μ, Ν τῶν Γ, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια. ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ Ζ.

Ἐὰν ἄρα ᾖ ὁποσαοῦν μεγέθη καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος, σύνδυο λαμβανόμενα ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, καὶ δι᾽ ἴσου ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ἔσται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Tebūnie keli norint dydžiai Α, Β, Γ ir kitų tiek pat – Δ, Ε, Ζ, po du imami ir to paties santykio: kaip Α su Β, taip Δ su Ε, o kaip Β su Γ, taip Ε su Ζ; teigiu, kad ir lygiuojant to paties santykio bus.

Tebūnie paimti tieko pat kartų Α, Δ kartotiniai Η, Θ ir kiti kurie nors, tieko pat kartų Β, Ε kartotiniai Κ, Λ, ir kiti dar kurie nors, tieko pat kartų Γ, Ζ kartotiniai Μ, Ν.

Ir kadangi yra kaip Α su Β, taip Δ su Ε, ir paimti tieko pat kartų Α, Δ kartotiniai Η, Θ ir kiti kurie nors, tieko pat kartų Β, Ε kartotiniai Κ, Λ, yra tad kaip Η su Κ, taip Θ su Λ. Dėl to pat gi ir kaip Κ su Μ, taip Λ su Ν. Tai kadangi yra trys dydžiai Η, Κ, Μ ir kitų tiek pat – Θ, Λ, Ν, po du imami ir to paties santykio, lygiuojant tad jei didesnis Η už Μ, tai didesnis ir Θ už Ν, ir jei lygus – lygus, ir jei mažesnis – mažesnis. Ir yra Η, Θ tieko pat kartų Α, Δ kartotiniai, o Μ, Ν kiti kurie nors, tieko pat kartų Γ, Ζ kartotiniai. Yra tad kaip Α su Γ, taip Δ su Ζ.

Jei tad būtų keli norint dydžiai ir kitų tiek pat, po du imami to paties santykio, tai ir lygiuojant tuo paties santykio bus; kaip tik, ką reikėjo įrodyti.

Ἔστω τρία μεγέθη τὰ Α, Β, Γ καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος σύνδυο λαμβανόμενα ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ τὰ Δ, Ε, Ζ, ἔστω δὲ τεταραγμένη αὐτῶν ἡ ἀναλογία, ὡς μὲν τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ, ὡς δὲ τὸ Β πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ Ε· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ Ζ.

Εἰλήφθω τῶν μὲν Α, Β, Δ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Η, Θ, Κ, τῶν δὲ Γ, Ε, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Λ, Μ, Ν.

Καὶ ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσια τὰ Η, Θ τῶν Α, Β, τὰ δὲ μέρη τοῖς ὡσαύτως πολλαπλασίοις τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Η πρὸς τὸ Θ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ, οὕτως τὸ Μ πρὸς τὸ Ν· καί ἐστιν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ· καὶ ὡς ἄρα τὸ Η πρὸς τὸ Θ, οὕτως τὸ Μ πρὸς τὸ Ν. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ Β πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ Ε, καὶ ἐναλλὰξ ὡς τὸ Β πρὸς τὸ Δ, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Ε. καὶ ἐπεὶ τὰ Θ, Κ τῶν Β, Δ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσια, τὰ δὲ μέρη τοῖς ἰσάκις πολλαπλασίοις τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Β πρὸς τὸ Δ, οὕτως τὸ Θ πρὸς τὸ Κ. ἀλλ᾽ ὡς τὸ Β πρὸς τὸ Δ, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Ε· καὶ ὡς ἄρα τὸ Θ πρὸς τὸ Κ, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Ε. πάλιν, ἐπεὶ τὰ Λ, Μ τῶν Γ, Ε ἰσάκις ἐστι πολλαπλάσια, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Ε, οὕτως τὸ Λ πρὸς τὸ Μ. ἀλλ᾽ ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Ε, οὕτως τὸ Θ πρὸς τὸ Κ· καὶ ὡς ἄρα τὸ Θ πρὸς τὸ Κ, οὕτως τὸ Λ πρὸς τὸ Μ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς τὸ Θ πρὸς τὸ Λ, τὸ Κ πρὸς τὸ Μ. ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς τὸ Η πρὸς τὸ Θ, οὕτως τὸ Μ πρὸς τὸ Ν. ἐπεὶ οὖν τρία μεγέθη ἐστὶ τὰ Η, Θ, Λ, καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος τὰ Κ, Μ, Ν σύνδυο λαμβανόμενα ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, καί ἐστιν αὐτῶν τεταραγμένη ἡ ἀναλογία, δι᾽ ἴσου ἄρα, εἰ ὑπερέχει τὸ Η τοῦ Λ, ὑπερέχει καὶ τὸ Κ τοῦ Ν, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον. καί ἐστι τὰ μὲν Η, Κ τῶν Α, Δ ἰσάκις πολλαπλάσια, τὰ δὲ Λ, Ν τῶν Γ, Ζ. ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ Ζ.

Ἐὰν ἄρα ᾖ τρία μεγέθη καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος σύνδυο λαμβανόμενα ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ᾖ δὲ τεταραγμένη αὐτῶν ἡ ἀναλογία, καὶ δι᾽ ἴσου ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ἔσται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Tebūnie trys dydžiai Α, Β, Γ ir kitų tiek pat – Δ, Ε, Ζ, po du imami to paties santykio, bei tebūnie jų mišri lygdara: kaip Α su Β, taip Ε su Ζ, o kaip Β su Γ, taip Δ su Ε; teigiu, kad yra kaip Α su Γ, taip Δ su Ζ.

Tebus paimti tieko pat kartų Α, Β, Δ kartotiniai Η, Θ, Κ ir kiti kurie nors, tieko pat kartų Γ, Ε, Ζ kartotiniai Λ, Μ, Ν.

Ir kadangi Η, Θ yra tieko pat kartų Α, Β kartotiniai, o dalmens tieko pat kartų kartotiniams tą patį turi santykį, yra tad kaip Α su Β, taip Η su Θ. Dėl to pat gi ir kaip Ε su Ζ, taip Μ su Ν; ir yra kaip Α su Β, taip Ε su Ζ; ir tad kaip Η su Θ, taip Μ su Ν. Ir kadangi yra kaip Β su Γ, taip Δ su Ε, tai ir pakaitomis, kaip Β su Δ, taip Γ su Ε. Ir kadangi Θ, Κ yra tieko pat kartų Β, Δ kartotiniai, o dalmens tieko pat kartų kartotiniams tą patį turi santykį, yra tad kaip Β su Δ, taip Θ su Κ. Tačiau kaip Β su Δ, taip Γ su Ε; ir tad kaip Θ su Κ, taip Γ su Ε. Ir vėl, kadangi Λ, Μ yra tieko pat kartų Γ, Ε kartotiniai, yra tad kaip Γ su Ε, taip Λ su Μ. Tačiau kaip Γ su Ε, taip Θ su Κ; ir tad kaip Θ su Κ, taip Λ su Μ, ir pakaitomis, kaip Θ su Λ, taip Κ su Μ. O įrodyta ir kaip Η su Θ, taip Μ su Ν. Tai kadangi yra trys dydžiai Η, Θ, Λ ir kitų tiek pat – Κ, Μ, Ν po du imami to paties santykio, ir yra jų mišri lygdara, lygiuojant tad jei didesnis Η už Λ, didesnis ir Κ už Ν, ir jei lygus – lygus, ir jei mažesnis – mažesnis. Ir yra Η, Κ tieko pat kartų Α, Δ kartotiniai, o Λ, Ν – Γ, Ζ. Yra tad kaip Α su Γ, taip Δ su Ζ.

Jei tad būtų trys dydžiai ir kitų tiek pat po du imami to paties santykio, bei būtų mišri jųjų lygdara, tai ir lygiuojant to paties santykio bus; kaip tik, ką reikėjo įrodyti.

Πρῶτον γὰρ τὸ ΑΒ πρὸς δεύτερον τὸ Γ τὸν αὐτὸν ἐχέτω λόγον καὶ τρίτον τὸ ΔΕ πρὸς τέταρτον τὸ Ζ, ἐχέτω δὲ καὶ πέμπτον τὸ ΒΗ πρὸς δεύτερον τὸ Γ τὸν αὐτὸν λόγον καὶ ἕκτον τὸ ΕΘ πρὸς τέταρτον τὸ Ζ· λέγω, ὅτι καὶ συντεθὲν πρῶτον καὶ πέμπτον τὸ ΑΗ πρὸς δεύτερον τὸ Γ τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον, καὶ τρίτον καὶ ἕκτον τὸ ΔΘ πρὸς τέταρτον τὸ Ζ.

Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς τὸ ΒΗ πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ ΕΘ πρὸς τὸ Ζ, ἀνάπαλιν ἄρα ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ ΒΗ, οὕτως τὸ Ζ πρὸς τὸ ΕΘ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ ΔΕ πρὸς τὸ Ζ, ὡς δὲ τὸ Γ πρὸς τὸ ΒΗ, οὕτως τὸ Ζ πρὸς τὸ ΕΘ, δι᾽ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΗ, οὕτως τὸ ΔΕ πρὸς τὸ ΕΘ. καὶ ἐπεὶ διῃρημένα μεγέθη ἀνάλογόν ἐστιν, καὶ συντεθέντα ἀνάλογον ἔσται· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΗ πρὸς τὸ ΗΒ, οὕτως τὸ ΔΘ πρὸς τὸ ΘΕ. ἔστι δὲ καὶ ὡς τὸ ΒΗ πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ ΕΘ πρὸς τὸ Ζ· δι᾽ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ΑΗ πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ ΔΘ πρὸς τὸ Ζ.

Ἐὰν ἄρα πρῶτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον καὶ τρίτον πρὸς τέταρτον, ἔχῃ δὲ καὶ πέμπτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν λόγον καὶ ἕκτον πρὸς τέταρτον, καὶ συντεθὲν πρῶτον καὶ πέμπτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον καὶ τρίτον καὶ ἕκτον πρὸς τέταρτον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Pirmasis ΑΒ su antruoju Γ tą patį teturie santykį ir trečiasis ΔΕ su ketvirtuoju Ζ, teturi gi ir penktasis ΒΗ su antruoju Γ tą patį santykį bei šeštasis ΕΘ su ketvirtuoju Ζ; teigiu, kad ir sudėti pimasis ir šeštasis ΑΗ su antruoju Γ tą patį turės santykį, bei trečiasis ir šeštasis ΔΘ su ketvirtuoju Ζ.

Kadangi yra kaip ΒΗ su Γ, taip ΕΘ su Ζ, atvirkščiai tad kaip Γ su ΒΗ, taip Ζ su ΕΘ. Tai kadangi yra kaip ΑΒ su Γ, taip ΔΕ su Ζ, o kaip Γ su ΒΗ, taip Ζ su ΕΘ, lygiuojant tad yra kaip ΑΒ su ΒΗ, taip ΔΕ su ΕΘ. Ir kadangi atskiri dydžiai lygdari yra, tai ir sujungti lygdari bus; yra tad kaip ΑΗ su ΗΒ, taip ΔΘ su ΘΕ. Bet yra ir kaip ΒΗ su Γ, taip ΕΘ su Ζ; lygiuojant tad yra kaip ΑΗ su Γ, taip ΔΘ su Ζ.

Jei tad pirmas su antru tą patį turėtų santykį ir trečias su ketvirtu, o ir penktas su antru turėtų tą patį santykį ir šeštas su ketvirtu, tai ir sudėti pirmas ir penktas su antru tą patį turės santykį, bei trečias ir šeštas – su ketvirtu; kaip tik, ką reikėjo įrodyti.

Ἔστω τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον τὰ ΑΒ, ΓΔ, Ε, Ζ. ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΓΔ, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ, ἔστω δὲ μέγιστον μὲν αὐτῶν τὸ ΑΒ, ἐλάχιστον δὲ τὸ Ζ· λέγω, ὅτι τὰ ΑΒ, Ζ τῶν ΓΔ, Ε μείζονά ἐστιν.

Κείσθω γὰρ τῷ μὲν Ε ἴσον τὸ ΑΗ, τῷ δὲ Ζ ἴσον τὸ ΓΘ.

Ἐπεὶ [οὖν] ἐστιν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΓΔ, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ, ἴσον δὲ τὸ μὲν Ε τῷ ΑΗ, τὸ δὲ Ζ τῷ ΓΘ, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΓΔ, οὕτως τὸ ΑΗ πρὸς τὸ ΓΘ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὅλον τὸ ΑΒ πρὸς ὅλον τὸ ΓΔ, οὕτως ἀφαιρεθὲν τὸ ΑΗ πρὸς ἀφαιρεθὲν τὸ ΓΘ, καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΗΒ πρὸς λοιπὸν τὸ ΘΔ ἔσται ὡς ὅλον τὸ ΑΒ πρὸς ὅλον τὸ ΓΔ. μεῖζον δὲ τὸ ΑΒ τοῦ ΓΔ· μεῖζον ἄρα καὶ τὸ ΗΒ τοῦ ΘΔ. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ μὲν ΑΗ τῷ Ε, τὸ δὲ ΓΘ τῷ Ζ, τὰ ἄρα ΑΗ, Ζ ἴσα ἐστὶ τοῖς ΓΘ, Ε.

Καὶ [ἐπεὶ] ἐὰν [ἀνίσοις ἴσα προτεθῇ, τὰ ὅλα ἄνισά ἐστιν, ἐὰν ἄρα] τῶν ΗΒ, ΘΔ ἀνίσων ὄντων καὶ μείζονος τοῦ ΗΒ τῷ μὲν ΗΒ προτεθῇ τὰ ΑΗ, Ζ, τῷ δὲ ΘΔ προτεθῇ τὰ ΓΘ, Ε, συνάγεται τὰ ΑΒ, Ζ μείζονα τῶν ΓΔ, Ε.

Ἐὰν ἄρα τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, τὸ μέγιστον αὐτῶν καὶ τὸ ἐλάχιστον δύο τῶν λοιπῶν μείζονά ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Tebūnie keturi lygdari dydžiai ΑΒ, ΓΔ, Ε, Ζ: kaip ΑΒ su ΓΔ, taip Ε su Ζ, ir tegu bus didžiausias ΑΒ, o mažiausias Ζ; teigiu, kad ΑΒ, Ζ už ΓΔ, Ε daugiau yra.

Tarkime ΑΗ lygų Ε ir ΓΘ lygų Ζ.

Tai kadangi yra kaip ΑΒ su ΓΔ, taip Ε su Ζ, ir Ε lygus ΑΗ, o Ζ – ΓΘ, yra tad kaip ΑΒ su ΓΔ, taip ΑΗ su ΓΘ. Ir kadangi yra kaip visas ΑΒ su visu ΓΔ, taip atimtas ΑΗ su atimtu ΓΘ, ir liekamas tad ΗΒ su liekamu ΘΔ bus kaip visas ΑΒ su visu ΓΔ. Bet ΑΒ didesnis už ΓΔ; didesnis tad ir ΗΒ už ΘΔ. Ir kadangi ΑΗ lygus yra Ε, o ΓΘ – Ζ, tai ΑΗ, Ζ lygu yra ΓΘ, Ε.

Ir [kadangi] jei [prie nelygių lygius pridėjus gaunama nelygūs, jei tad] ΗΒ, ΘΔ nelygiems esant ir didesniam ΗΒ, prie ΗΒ būtų pridėta ΑΗ, Ζ, o prie ΘΔ pridėta ΓΘ, Ε, gaunasi ΑΒ, Ζ daugiau už ΓΔ, Ε.

Jei tad keturi dydžiai lygdari būtų, tai didžiausias ir mažiausias už kitu du daugiau yra; kaip tik, ką reikėjo įrodyti.